W „W większości nieszkodliwych ekonometriach: towarzysz empirysty” (Angrist i Pischke, 2009: strona 209) czytam:
(...) W rzeczywistości właśnie zidentyfikowana 2SLS (powiedzmy, prosty estymator Wald) jest w przybliżeniu bezstronna . Jest to trudne do formalnego wykazania, ponieważ właśnie zidentyfikowana 2SLS nie ma momentów (tj. Rozkład próbkowania ma ogony tłuszczu). Niemniej jednak, nawet przy słabych instrumentach, właśnie zidentyfikowany 2SLS jest w przybliżeniu wyśrodkowany tam, gdzie powinien. Dlatego mówimy, że właśnie zidentyfikowany 2SLS jest bezstronny względem mediany. (...)
Chociaż autorzy twierdzą, że właśnie zidentyfikowany 2SLS jest bezstronny pod względem mediany, nie dowodzą tego ani nie podają odniesienia do dowodu . Na stronie 213 ponownie wspominają tę propozycję, ale bez odniesienia do dowodu. Nie znajduję też żadnej motywacji dla tej propozycji w notatkach z wykładu na temat zmiennych instrumentalnych z MIT , strona 22.
Przyczyną może być fałszywa propozycja, ponieważ odrzucają ją w notatce na swoim blogu . Piszą, że właśnie zidentyfikowana 2SLS jest w przybliżeniu mediana-obiektywna. Motywują to za pomocą małego eksperymentu Monte-Carlo, ale nie dostarczają żadnego analitycznego dowodu ani wyrażenia w formie zamkniętej terminu błędu związanego z przybliżeniem. W każdym razie była to odpowiedź autorów na profesora Gary'ego Solona z Michigan State University, który skomentował, że właśnie zidentyfikowane 2SLS nie jest medianowo bezstronne.
Pytanie 1: Jak udowodnić, że właśnie zidentyfikowany 2SLS nie jest bezstronny, jak argumentuje Gary Solon?
Pytanie 2: Jak udowodnić, że właśnie zidentyfikowana 2SLS jest w przybliżeniu bezstronna, jak twierdzą Angrist i Pischke?
Na pytanie 1 szukam kontrprzykładu. W przypadku pytania 2 szukam (przede wszystkim) dowodu lub odniesienia do dowodu.
W tym kontekście szukam także formalnej definicji medianobezstronnej . Rozumiem pojęcie następująco: Estymator z na podstawie pewnego zbioru od zmiennych losowych jest mediana-bezstronna dla wtedy i tylko jeśli rozkład ma medianę .θX1:nnθ θ (X1:n)θ
Notatki
W właśnie zidentyfikowanym modelu liczba endogennych regresorów jest równa liczbie instrumentów.
Ramy opisujące właśnie zidentyfikowany model zmiennych instrumentalnych można wyrazić w następujący sposób: Model przyczynowo-skutkowy będący przedmiotem zainteresowania i równanie pierwszego etapu to gdzie jest macierzą opisującą regresorów endogennych, a zmienne instrumentalne są opisane przez macierzy . Tutaj opisuje tylko pewną liczbę zmiennych kontrolnych (np. Dodanych w celu poprawy precyzji); i i są terminami błędach. Xk×n+1kk×n+1ZWuv
Oszacować w za pomocą 2SLS Po pierwsze, cofanie się z kontrolując i uzyskiwania wartości przewidywanych ; nazywa się to pierwszym etapem. Po drugie, zresetuj na kontrolując dla ; nazywa się to drugim etapem. Szacowany współczynnik na w drugim etapie jest naszym oszacowaniem 2SLS na poziomie .( 1 ) X Z W X Y X W X β
W najprostszym przypadku mamy model i instrumentujemy endogenny regresor pomocą . W tym przypadku oszacowanie 2SLS dla to gdzie oznacza próbkę kowariancji pomiędzy i . Możemy uprościć : gdzie , orazx i z , że β β 2SLS = s Z Y
yABAB(2) β 2SLS=Σi(Yi- ˉ y )ziˉy=∑iyi/nˉx=∑ixi/nˉu=∑iui/nn, gdzie jest liczbą obserwacji.Przeszukałem literaturę, używając słów „właśnie zidentyfikowany” i „bezstronny”, aby znaleźć referencje odpowiadające na pytania 1 i 2 (patrz wyżej). Nie znalazłem żadnego. Wszystkie znalezione przeze mnie artykuły (patrz poniżej) odnoszą się do Angrista i Pischke (2009: strona 209, 213), stwierdzając, że właśnie zidentyfikowana 2SLS jest bezstronna.
- Jakiela, P., Miguel, E., i Te Velde, VL (2015). Zasłużyłeś na to: oszacowanie wpływu kapitału ludzkiego na preferencje społeczne. Experimental Economics , 18 (3), 385–407.
- An, W. (2015). Szacunkowe zmienne instrumentalne efektów rówieśniczych w sieciach społecznościowych. Social Science Research , 50, 382–394.
- Vermeulen, W., i Van Ommeren, J. (2009). Czy planowanie przestrzenne kształtuje gospodarki regionalne? Jednoczesna analiza podaży mieszkań, migracji wewnętrznej i lokalnego wzrostu zatrudnienia w Holandii. Journal of Housing Economics , 18 (4), 294-310.
- Aidt, TS i Leon, G. (2016). Demokratyczna szansa: dowody zamieszek w Afryce Subsaharyjskiej. Journal of Conflict Resolution , 60 (4), 694-717.