Błędy normalnie rozłożone i centralne twierdzenie graniczne

We wstępnej ekonometrii Wooldridge'a jest cytat:

Argument uzasadniający normalną dystrybucję błędów zwykle działa mniej więcej tak: ponieważ $u$ jest sumą różnych wpływających na nie zaobserwowanych czynników $y$, możemy odwołać się do centralnego twierdzenia o granicy, aby dojść do wniosku $u$ ma przybliżony rozkład normalny.

Ten cytat dotyczy jednego z założeń modelu liniowego, a mianowicie:

$u \sim N(μ, σ^2)$

gdzie jest terminem błędu w modelu populacji.$u$

O ile mi wiadomo, centralne twierdzenie graniczne stwierdza, że ​​rozkład

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(gdzie $\overline{Y_i}$ to średnie z losowych próbek pobranych z dowolnej populacji ze średnią $μ$ i wariancją $σ^2$ )

zbliża się do standardowej zmiennej normalnej jako $n \rightarrow \infty$ .

Pytanie:

Pomóż mi zrozumieć, w jaki sposób asymptotyczna normalność $Z_i$ implikuje $u \sim N(μ, σ^2)$

Można to lepiej docenić, wyrażając wynik CLT jako sumę zmiennych losowych iid. Mamy

$$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$$

Mnożenie przez iloraz i wykorzystują fakt, że aby uzyskać$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Var(cX) = c^2 Var(X)$

$$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Teraz dodaj do LHS i wykorzystaj fakt, że aby uzyskać$\mu$$\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Na koniec pomnóż przez i użyj powyższych dwóch wyników, aby to zobaczyć$n$

$$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$$

A co to ma wspólnego z oświadczeniem Wooldridge? Cóż, jeśli błąd jest sumą wielu losowych zmiennych iid, to będzie w przybliżeniu normalnie rozłożony, jak właśnie widzieliśmy. Ale jest tutaj problem, mianowicie, że niezauważone czynniki niekoniecznie muszą być identycznie rozmieszczone i mogą nawet nie być niezależne!

Niemniej jednak CLT z powodzeniem rozszerzono na niezależne, nie identycznie rozmieszczone zmienne losowe, a nawet przypadki łagodnej zależności, pod pewnymi dodatkowymi warunkami prawidłowości. Są to zasadniczo warunki, które gwarantują, że żaden termin w sumie nie wywiera nieproporcjonalnego wpływu na asymptotyczny rozkład, patrz także strona wikipedia na CLT . Oczywiście nie musisz znać tych wyników; Celem Wooldridge jest jedynie zapewnienie intuicji.

Mam nadzieję że to pomoże.