Czy w modelach normalnym i dwumianowym zawsze wariancja tylna jest mniejsza niż wariancja poprzednia?

Lub jakie warunki to gwarantują? Zasadniczo (i nie tylko modele normalne i dwumianowe) przypuszczam, że głównym powodem złamania tego twierdzenia jest niespójność między modelem próbkowania a wcześniejszym, ale co jeszcze? Zaczynam od tego tematu, więc naprawdę doceniam proste przykłady

Ponieważ tylne i wcześniejsze warianty na spełniają (z oznaczającym próbkę) zakładając, że istnieją wszystkie wielkości, można oczekiwać, że tylna wariancja będzie średnio mniejsza (w ). Jest to w szczególności w przypadku, gdy tylna wariancja jest stała w . Ale, jak pokazuje druga odpowiedź, mogą istnieć realizacje wariancji tylnej, które są większe, ponieważ wynik jest tylko oczekiwany.$\theta$$X$

$$\text{var}(\theta) = \mathbb{E}[\text{var}(\theta|X)]+\text{var}(\mathbb{E}[\theta|X])$$ $X$$X$

Aby zacytować Andrew Gelman,

Rozważamy to w rozdziale 2 w analizie danych bayesowskich , myślę, że w kilku problemach z pracą domową. Krótka odpowiedź jest taka, że ​​w oczekiwaniu wariancja tylna zmniejsza się, gdy otrzymujesz więcej informacji, ale w zależności od modelu, w szczególnych przypadkach wariancja może wzrosnąć. W przypadku niektórych modeli, takich jak normalna i dwumianowa, tylna wariancja może się jedynie zmniejszyć. Ale rozważ model t o niskich stopniach swobody (który można interpretować jako mieszaninę normalnych ze wspólną średnią i różnymi wariancjami). jeśli zaobserwujesz ekstremalną wartość, jest to dowód, że wariancja jest wysoka i rzeczywiście twoja tylna wariancja może wzrosnąć.

To będzie bardziej pytanie do Xi'ana niż odpowiedź.

Chciałem odpowiedzieć, że a wariancja późniejsza przy liczbie prób, liczbie sukcesów i współczynniki wcześniejszej wersji beta, przekraczającej wcześniejszą wariancję jest również możliwy w modelu dwumianowym na podstawie poniższego przykładu, w którym prawdopodobieństwo i wcześniejsze są w jaskrawym kontraście, tak że tylny jest „zbyt daleko pomiędzy”. Wydaje się, że jest to sprzeczne z cytatem Gelmana.

$$V(\theta|y)=\frac{\alpha_{1}\beta_1}{(\alpha_{1}+\beta_1)^2(\alpha_{1}+\beta_1+1)}=\frac{(\alpha _{0}+k)(n-k+\beta_{0})}{(\alpha_{0}+n+\beta_0)^2(\alpha_{0}+n+\beta_0+1)},$$ $n$$k$$\alpha_{0},\beta_0$ $$V(\theta)=\frac{\alpha_{0}\beta_0}{(\alpha_{0}+\beta_0)^2(\alpha_{0}+\beta_0+1)}$$

n <- 10         
k <- 1
alpha0 <- 100
beta0 <- 20

theta <- seq(0.01,0.99,by=0.005)
likelihood <- theta^k*(1-theta)^(n-k) 
prior <- function(theta,alpha0,beta0) return(dbeta(theta,alpha0,beta0))
posterior <- dbeta(theta,alpha0+k,beta0+n-k)

plot(theta,likelihood,type="l",ylab="density",col="lightblue",lwd=2)

likelihood_scaled <- dbeta(theta,k+1,n-k+1)
plot(theta,likelihood_scaled,type="l",ylim=c(0,max(c(likelihood_scaled,posterior,prior(theta,alpha0,beta0)))),ylab="density",col="lightblue",lwd=2)
lines(theta,prior(theta,alpha0,beta0),lty=2,col="gold",lwd=2)
lines(theta,posterior,lty=3,col="darkgreen",lwd=2)
legend("top",c("Likelihood","Prior","Posterior"),lty=c(1,2,3),lwd=2,col=c("lightblue","gold","darkgreen"))

 > (postvariance <- (alpha0+k)*(n-k+beta0)/((alpha0+n+beta0)^2*(alpha0+n+beta0+1)))
[1] 0.001323005
> (priorvariance <- (alpha0*beta0)/((alpha0+beta0)^2*(alpha0+beta0+1)))
[1] 0.001147842

Dlatego przykład ten sugeruje większą wariancję boczną w modelu dwumianowym.

Oczywiście nie jest to oczekiwana tylna wariancja. Czy to właśnie tam leży rozbieżność?

Odpowiednia liczba to