Jak mogę udowodnić, że funkcja skumulowanego rozkładu jest właściwie ciągła?

Na kursach prawdopodobieństwa dowiedziałem się, że funkcja skumulowanego rozkładu zmiennej losowej jest ciągła. Czy można to udowodnić?$F$$X$

Aby udowodnić właściwą ciągłość funkcji rozkładu, musisz użyć ciągłości z góry $P$ , co prawdopodobnie udowodniłeś na jednym z kursów prawdopodobieństwa.

Lemat. Jeśli sekwencja zdarzeń $\{A_n\}_{n\geq 1}$ maleje, w tym sensie, że $A_n\supset A_{n+1}$ dla każdego $n\geq 1$ , to $P(A_n)\downarrow P(A)$ , w którym $A=\cap_{n=1}^\infty A_n$ .

Użyjmy lematu. Funkcja rozkładu jest właściwie ciągła w pewnym momencie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej malejącej sekwencji liczb rzeczywistych tak, że mamy .$F$$a$$\{x_n\}_{n\geq 1}$$x_n\downarrow a$$F(x_n)\downarrow F(a)$

Zdefiniuj zdarzenia , dla . Udowodnimy, że$A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$$n\geq 1$

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$

W jednym kierunku, jeśli dla każdego , ponieważ , mamy .$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$$x_n\downarrow a$$X(\omega)\leq a$

W przeciwnym kierunku, jeśli , ponieważ dla każdego , mamy , dla każdego .$X(\omega)\leq a$$a\leq x_n$$n\geq 1$$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$

Używając lematy, wynik jest następujący:

$$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$$