Rozważmy iid z trójkątnego rozkładu postaciT.1, T2)faT.( t ) = 2 ( 1 - t ) 10 < t < 1
Teraz niech będzie 60-40 mieszanką i .T 1 - 4 T 2XT.1- 4 T.2)
Gęstość wygląda następująco:X
Średnia jest poniżej 0, tryb wynosi 0, ale mediana jest wyższa od 0. Drobna modyfikacja tego dałaby przykład, w którym nawet gęstość (a nie tylko cdf) była ciągła, ale związek między miarami lokalizacji był to samo (edycja: patrz 3. poniżej).
Uogólniając, umieśćmy proporcję (z ) całkowitego prawdopodobieństwa w trójkącie po prawej stronie i proporcję w trójkącie po lewej stronie (zamiast 0,6 i 0,4 mieliśmy wcześniej). Ponadto, ustaw współczynnik skalowania na lewej połowie zamiast (z ):0 < p < 1 ( 1 - p ) - βp0 < p < 1( 1 - p )- ββ > 0- 4β> 0
Teraz zakładając, że , mediana będzie zawsze w przedziale objętym prostokątnym trójkątem, więc mediana przekroczy tryb (który zawsze pozostanie na ). W szczególności, gdy , mediana będzie wynosić . 0p>1p > 12)0 1-1/√p > 12)1 - 1 / 2 s--√
Średnia będzie wynosić .( p - β( 1 - p ) ) / 3
Jeśli wówczas średnia będzie poniżej trybu, a jeśli średnia będzie powyżej trybu.β < p / ( 1 - p )β>p/(1−p)β<p/(1−p)
Z drugiej strony chcemy aby utrzymać średnią poniżej mediany.( p - β( 1 - P ) ) / 3 < 1 - 1 / 2 s--√
Rozważ ; umieszcza to medianę powyżej trybu.p = 0,7
Wtedy spełnia więc średnia jest powyżej trybu.β < p / ( 1 - p )β= 2β< p / ( 1 - p )
Mediana w rzeczywistości wynosi podczas gdy średnia wynosi . Stąd dla i mamy tryb <średnia <mediana. 0,7 - 2 ( 0,3 )1 - 1 / 1,4---√≈ 0,1548p=0,7β=20,7 - 2 ( 0,3 )3)≈ 0,0333p = 0,7β= 2
(Uwaga: W celu zachowania spójności z moją notacją zmienna na osi x dla obu wykresów powinna wynosić zamiast ale nie zamierzam tego cofać i naprawiać.)txt
Jest to przykład, w którym sama gęstość jest ciągła. Opiera się na podejściu z 1. i 2. powyżej, ale z „skokiem” zastąpionym stromym zboczem (a potem cała gęstość odwróciła się o 0, ponieważ chcę przykład, który wygląda na skośny).
[Stosując metodę „mieszanki gęstości trójkątnej”, można ją wygenerować jako mieszaninę 3 niezależnych skalowanych wariantów trójkątnej postaci opisanej w rozdziale 1. Mamy teraz 15% , 60% i 25% .] - 3 T 2 5 T 3T.1- 3 T.2)5 ton3)
Jak widać na powyższym schemacie, średnia jest na środku, zgodnie z żądaniem.