Znalezienie MLE dla jednoznacznego wykładniczego procesu Hawkesa

Jednowymiarowy wykładniczy proces Hawkesa jest samo-ekscytującym procesem punktowym, którego wskaźnik przybywania zdarzeń wynosi:

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

gdzie to czasy przyjazdu zdarzenia.$t_1,..t_n$

Funkcja wiarygodności dziennika to

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

które można obliczyć rekurencyjnie:

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

Jakich metod numerycznych mogę użyć do znalezienia MLE? Jaka jest najprostsza praktyczna metoda do wdrożenia?

Algorytm simpleksowy Neldera-Meada wydaje się działać dobrze. Jest on implementowany w Javie przez bibliotekę Apache Commons Math pod adresem https://commons.apache.org/math/ . Napisałem także artykuł o procesach Hawkesa w Point Process Modele dla danych wielowymiarowych o wysokiej częstotliwości i nieregularnie rozmieszczonych danych .

felix, użycie transformacji exp / log wydaje się zapewniać dodatnie parametry. Jeśli chodzi o małą alfę, poszukaj w arxiv.org artykułu o nazwie „twierdzenia o limitach dla prawie niestabilnych procesów jastrzębi”

Rozwiązałem ten problem za pomocą biblioteki nlopt . Stwierdziłem, że wiele metod zbiegło się dość szybko.

Możesz także dokonać prostej maksymalizacji. W R:

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)