Dlaczego naturalne zmiany dziennika są zmianami procentowymi? Co takiego sprawia, że ​​logi?

Czy ktoś może wyjaśnić, w jaki sposób sprawiają to logi, aby można było wykonać logiczne regresje, w których współczynniki są interpretowane jako zmiany procentowe?

Dla i blisko siebie zmiana procentowa przybliża różnicę .$x_2$$x_1$$\frac{x_2-x_1}{x_1}$$\log x_2 - \log x_1$

Dlaczego zmiana procentowa przybliża różnicę w dzienniku?

Pomysł z rachunku polega na tym, że można aproksymować gładką funkcję za pomocą linii. Przybliżenie liniowe to po prostu pierwsze dwa terminy z serii Taylora . Rozwinięcie Taylora pierwszego rzędu w wokół daje:$\log(x)$$x=1$

$$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$$ Prawa strona upraszcza się do stąd: $0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$ $$\log(x) \approx x-1$$

Zatem dla w sąsiedztwie 1 możemy przybliżać za pomocą linii Poniżej znajduje się wykres i .$x$$\log(x)$$y = x - 1$$y = \log(x)$$y = x - 1$

Przykład: .$\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

Rozważmy teraz dwie zmienne i takie, że$x_2$$x_1$$\frac{x_2}{x_1} \approx 1$$\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

$$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$$

Zmiana procentowa jest liniowym przybliżeniem różnicy logarytmicznej!

Po co rejestrować różnice?

Często, gdy myślisz o złożeniu zmian procentowych, matematycznie czystszą koncepcją jest myślenie w kategoriach różnic logarytmicznych. W przypadku wielokrotnego mnożenia terminów często wygodniej jest pracować w dziennikach i zamiast tego dodawać terminy razem.

$T$

$$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$$ $$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$$ $r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

Gdzie są zmiany procentowe, a różnica logów NIE jest taka sama?

$y = \log(x)$$y = x - 1$$x=1$

$$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$$

Jaka jest różnica logów w tym przypadku?

Jednym ze sposobów myślenia o tym jest to, że różnica w logach wynosząca 0,47 odpowiada kumulacji 47 różnych różnic logarytmicznych 0,01, co stanowi około 47 1% zmian, wszystkie razem wzięte.

$$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$$

$$1.6 \approx 1.01 ^{47}$$

Różnica logarytmiczna wynosząca 0,47 jest w przybliżeniu równoważna 47 różnym 1% wzrostom złożonym, lub nawet lepiej, 470 innym. 1% wzrostom wszystkim złożonym itp.

Kilka odpowiedzi tutaj uściśla ten pomysł.

Oto wersja dla manekinów ...

$Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$$1\text{-unit}$$X=x_1$$\hat \beta_1$$Y$$Y=y_1$$\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

$\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$$\hat\delta_1$

$$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$$

$(*)$

$$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$$(**)$$\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

$\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$$\hat\delta_1$$e^x$

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

$\delta_1$$x$

$$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$$

$\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

$$\ln y = A+B x$$ $$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$$

$b$$y$

$$\frac{dy}{y}=B dx$$

$y$

$$dy=B dx$$

$dx,dy$$\Delta x,\Delta y$

$r$ $n$

$$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$$

$n \rightarrow \infty$

$$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$$

Przyjmowanie logarytmów obu stron daje , co oznacza, że ​​logarytmem stosunku inwestycji końcowej do inwestycji początkowej jest stale rosnąca stopa procentowa. Na podstawie tego wyniku widzimy, że logarytmiczne różnice w wynikach szeregów czasowych można interpretować jako ciągłe zwiększanie szybkości zmian . (Ta interpretacja jest również uzasadniona odpowiedzią aksakal , ale obecne dzieło daje ci inny sposób na jej spojrzenie.)$r = \ln I(\infty)$

---