Użyj do testu hipotez, że ponieważ szybszy współczynnik konwergencji?

Załóżmy, że mam są iid i chcę zrobić test hipotezy, że wynosi 0. Załóżmy, że mam duże n i mogę użyć twierdzenia o limicie centralnym. Mógłbym również wykonać test, że wynosi 0, co powinno być równoważne testowaniu, że wynosi 0. Ponadto zbieżny do kwadratu chi, gdzie zbiega się do normy. Ponieważ ma szybszy współczynnik konwergencji, czy nie powinienem używać go do statystyk testowych, a tym samym uzyskać szybszy współczynnik konwergencji, a test będzie bardziej wydajny? $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

Wiem, że ta logika jest błędna, ale od dłuższego czasu zastanawiam się i szukam i nie mogę zrozumieć, dlaczego.

hypothesis-testing convergence delta-method

— Xu Wang
źródło

Nie jest jasne, o co pytasz. Czy możesz wyjaśnić, w jakim sensie współczynnik konwergencji jest „szybszy” niż w ? Jak mierzysz stawkę? Jakich statystyk testowych używasz w dwóch testach? Oczywiście te wybory mogą mieć znaczenie.

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@ Whuber dzięki za pytania. Twierdzę, że „szybsze tempo”, ponieważ n jest większe niż pierwiastek kwadratowy z n. Czy ta intuicja jest nieprawidłowa? Mam na myśli statystykę testową X-bar lub X-bar do kwadratu.

— Xu Wang,

Myślę, że skupiasz się na złej rzeczy. Ta szybkość mówi ci, jak szybko rozkład próbkowania zbliża się do granicznej - albo normalnej Normalnej, albo . Ponieważ jest duże, jego wartość nie ma praktycznej różnicy - nie ma znaczenia. Problem dotyczy mocy każdego testu, a nie stopnia przybliżenia statystyki testu do ograniczającego rozkładu.

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

n

$n$

— whuber

@ whuber dziękuję za te szczegóły. Myślałem o nich, ale nadal nie rozumiem. Czy przybliżona wariancja X-bar ^ 2 nie będzie w końcu mniejsza niż przybliżona wariancja X-bar? I czy nie jest to wynikiem wyższego współczynnika zbieżności X-bar ^ 2 niż X-bar? Przepraszam, że nie widziałem moich podstawowych nieporozumień. Wiem, że brakuje mi czegoś wielkiego i mam nadzieję skorygować takie myślenie.

— Xu Wang,

Nie ma znaczenia, czy przybliżona wariancja jest większa czy mniejsza, ponieważ liczy się rozkład statystyki. Aby to zobaczyć, rozważ test t dla z vs . Statystyka zawsze ma wariancję 100 razy większą niż , ale normalizacja powoduje, że obie rzeczywiste statystyki testowe są rozłożone . W twoim przypadku pamiętaj, że podniesienie kwadratu zmiennej daje zmienną . Na granicy transformacja ta oznacza, że dwa testy są identyczne pod względem mocy, biorąc pod uwagę określony poziom.

μ = 0

$\mu = 0$

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$

\bar{y}

$\bar{y}$

\bar{x}

$\bar{x}$

t (n - 1)

$t(n-1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2}

$\chi^2$

— jbowman

Oba opisane testy są równoważne.

Jeśli mam dwie hipotezy:

{H.}_{0} : μ = 0

$H_0: \mu=0$

{H.}_{1} : μ \neq 0

$H_1: \mu\neq0$

są one równoważne

{H.}_{0} : μ^{2)} = 0

$H_0: \mu^2=0$

{H.}_{1} : μ^{2)} > 0.

$H_1: \mu^2\gt 0.$

$\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

$\bar{X}^2$ $\bar{X}$ $n$

P. (| \bar{X} - μ | > | {\bar{X}}^{2)} - μ^{2)} |) \to 1

$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$

$\bar{X}$ $\chi^2$

— JDL
źródło