Jaka jest formuła skorygowanej wartości p Benjaminiego-Hochberga?

Rozumiem procedurę i to, co kontroluje. Jaki jest zatem wzór skorygowanej wartości p w procedurze BH dla wielokrotnych porównań?

Właśnie teraz zdałem sobie sprawę, że pierwotny BH nie wytworzył skorygowanych wartości p, a jedynie dostosował warunek (nie) odrzucenia: https://www.jstor.org/stable/2346101 . Gordon Smyth wprowadził skorygowane wartości p BH w 2002 r., Więc pytanie nadal obowiązuje. Jest zaimplementowany w R jak p.adjustw metodzie BH.

Słynny artykuł Benjamini i Hochberg (1995) opisał procedurę przyjmowania / odrzucania hipotez opartą na dostosowywaniu poziomów alfa. Ta procedura ma proste równoważne przeformułowanie pod względem skorygowanych wartości , ale nie zostało to omówione w oryginalnym artykule. Według Gordona Smytha wprowadził skorygowane wartości w 2002 r. Podczas implementacji w R. Niestety, nie ma odpowiedniego cytatu, więc zawsze nie było dla mnie jasne, co należy cytować, jeśli używa się wartości skorygowanych pod kątem BH .$p$p p$p$p.adjust$p$

Okazuje się, że procedura jest opisana w Benjamini, Heller, Yekutieli (2009) :

Alternatywnym sposobem przedstawienia wyników tej procedury jest przedstawienie skorygowanych wartości . Wartości skorygowane o BH są zdefiniowane jako$p$$p$

$$p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$$

Ta formuła wygląda na bardziej skomplikowaną, niż jest w rzeczywistości. To mówi:

1. Najpierw uporządkuj wszystkie wartości od małych do dużych. Następnie pomnóż każdą wartość przez całkowitą liczbę testów i podziel przez kolejność rang.$p$$p$$m$
2. Po drugie, upewnij się, że wynikowa sekwencja nie zmniejsza się: jeśli kiedykolwiek zacznie się zmniejszać, spraw, aby poprzednia wartość równa kolejnej (wielokrotnie, aż cała sekwencja nie zmniejszy się).$p$
3. Jeśli jakakolwiek wartość kończy się na 1, ustaw ją na 1.$p$

Jest to proste przeformułowanie oryginalnej procedury BH z 1995 r. Może istnieć wcześniejszy artykuł, w którym wyraźnie wprowadzono koncepcję wartości skorygowanych pod kątem BH , ale nie jestem jej świadomy.$p$

Aktualizacja. @Zenit stwierdził, że Yekutieli i Benjamini (1999) opisali to samo już w 1999 roku:

Najpierw odpowiedź na pytanie. Weź pod uwagę, że jest wartością (pojedynczego testu) powiązaną z wartością statystyki testowej. Benjamini-Hochberg FDR jest obliczany w dwóch krokach ( = # pvalues , = # pvalues): p z 0 N 0 ≤ p $p_0$$p$$z_0$$N_0$$\le$ $p_0$$N$

• $\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$

• $\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

Teraz zrozummy to. (Bayesowska) idea polega na tym, że obserwacje pochodzą z mieszanki dwóch rozkładów:

• $\pi_0 \: N$ obserwacji z gęstości zerowej$f_0(z)$
• $(1-\pi_0) \: N$ obserwacji z alternatywnej gęstości .$f_1(z)$

Obserwuje się połączenie tych dwóch:

• $f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

Definicje (bayesowskie) to:

• $\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$ (ułamek obszarów ogona)
• $\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$ (ułamek gęstości ogona)

Jak pokazano poniżej, Fdr odpowiada FDR Benjamini hocherg, gdy (co ma miejsce w większości badań bioinformatycznych)$\pi_0 \approx 1$

(Na podstawie wnioskowania statystycznego dotyczącego wieku komputerowego Efron & Tibshirani )