Jaki jest rozkład przykładowych środków rozkładu Cauchyego?

14

Zazwyczaj, gdy pobiera się losowe średnie próbki rozkładu (przy wielkości próbki większej niż 30), uzyskuje się rozkład normalny ześrodkowywany wokół wartości średniej. Słyszałem jednak, że rozkład Cauchy'ego nie ma żadnej wartości średniej. Jaki rozkład uzyskuje się wtedy, gdy uzyskuje się przykładowe środki rozkładu Cauchy'ego?

Zasadniczo dla rozkładu Cauchy jest niezdefiniowany, więc co to jest i jaka jest dystrybucja ? $\mu_x$ $\mu_{\bar{x}}$ $\bar{x}$

cauchy

— Steven Stewart-Gallus
źródło

1

Na stronie Wikipedii wygląda na to, że średnia próbki zmiennych iid Cauchy miałaby taki sam rozkład jak same próbki.

— GeoMatt22

19

Gdyby $X_1, \ldots, X_n$ są iid Cauchy $(0, 1)$ wtedy możemy to pokazać $\bar{X}$ jest także Cauchy $(0, 1)$ za pomocą charakterystycznego argumentu funkcji:

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = E (e^{i t \bar{X}}) \\ = E (\prod_{j = 1}^{n} e^{i t X_{j} / n}) \\ = \prod_{j = 1}^{n} E (e^{i t X_{j} / n}) \\ = E {(e^{i t X_{1} / n})}^{n} \\ = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

która jest charakterystyczną funkcją standardowego rozkładu Cauchy'ego. Dowód na bardziej ogólne Cauchy $(\mu, \sigma)$ obudowa jest w zasadzie identyczna.

— dsaxton
źródło

8

Aby pomóc tym, którzy mogą mieć problemy z połączeniem niektórych szczegółów, krok od drugiej do trzeciej linii wykorzystuje niezależność, następny wykorzystuje „identycznie rozłożony”, następny można zrobić na kilka sposobów, ale najłatwiej jest to zobaczyć że oczekiwanie wewnątrz władzy jest taką samą całką jak oczekiwanie dla Cauchy'ego, ale w

t / n

$t/n$ , więc (jeśli już znasz cf dla Cauchy) otrzymujesz

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$ a następnie przynosząc

n

$n$ moc w dół

n

$n$ warunki anulowania.

— Glen_b

Podobało mi się, że druga odpowiedź wyjaśniała również, że oznacza to stabilną dystrybucję .

— Apollys obsługuje Monikę

5

Zazwyczaj, gdy pobiera się losowe średnie próbki rozkładu (przy wielkości próbki większej niż 30), uzyskuje się rozkład normalny ześrodkowywany wokół wartości średniej.

Nie dokładnie. Zastanawiasz się nad centralnym twierdzeniem o granicy, które stwierdza, że podano sekwencję $X_n$ zmiennych losowych IID o wariancji skończonej (co samo w sobie implikuje skończoną średnią $μ$ ), wyrażenie zbiega się w rozkładzie do rozkładu normalnego, gdy idzie w nieskończoność. Nie ma gwarancji, że średnia próbki dowolnego skończonego podzbioru zmiennych będzie normalnie rozłożona. $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ $n$

Słyszałem jednak, że rozkład Cauchy'ego nie ma żadnej wartości średniej. Jaki rozkład uzyskuje się wtedy, gdy uzyskuje się przykładowe środki rozkładu Cauchy'ego?

Jak powiedział GeoMatt22, przykładowe środki będą same dystrybuowane przez Cauchy'ego. Innymi słowy, rozkład Cauchy'ego jest rozkładem stabilnym .

Zauważ, że centralne twierdzenie graniczne nie dotyczy zmiennych losowych rozkładanych przez Cauchy'ego, ponieważ nie mają one skończonej średniej i wariancji.

— Kodiolog
źródło

Mój komentarz miał być nieco silniejszy niż „średnia próbki to także Cauchy”, ponieważ średnia próbki będzie miała te same parametry . To znaczy, podobnie jak w przypadku rozkładu normalnego, parametr lokalizacji będzie taki sam, ale w przeciwieństwie do normalnego przypadku, parametr skali również będzie taki sam (podczas gdy w normalnym przypadku skala zmniejsza się o ) . Przynajmniej taka jest moja interpretacja pierwszych 2 właściwości transformacji wymienionych pod moim linkiem.

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$

— GeoMatt22

1

Powiedziałeś: „ średnia próbki pierwszych n elementów zbiega się w rozkładzie do rozkładu normalnego, gdy n idzie w nieskończoność ” ... nie do końca. W słabszych warunkach niż potrzebujesz dla CLT, sama wartość zbiega się do stałej (przez słabe prawo dużych liczb). Musisz ustandaryzować średnią, aby uzyskać konwergencję do rozkładu normalnego.

μ

$\mu$

— Glen_b

@DilipSarwate poprawione. Nie zapominaj, że możesz edytować odpowiedzi innych osób.

— Kodiolog,