Każdy przykład (z grubsza) zmiennych niezależnych, które są zależne od ekstremalnych wartości?

Szukam przykładu 2 losowych zmiennych $X$ , $Y$ takich, że

| c o r (X, Y) | \approx 0

$\newcommand{\cor}{{\rm cor}}|\cor(X,Y)| \approx 0$

ale jeśli wziąć pod uwagę tylną część rozkładów, są one wysoce skorelowane. (Staram się unikać „korelacji” / „korelacji” dla ogona, ponieważ może on nie być liniowy).

Prawdopodobnie skorzystaj z tego:

| c o r (X^{'}, Y^{'}) | ≫ 0

$|\cor(X', Y')| \gg 0$

gdzie jest uwarunkowane populacji , a jest zdefiniowane w tym samym znaczeniu. $X'$ $X > 90\%$ $X$ $Y'$

correlation extreme-value

— Kmz
źródło

Niezależne zmienne, które są zależne? Mój mózg właśnie eksplodował. Tego rodzaju pytania nie można zadać w poniedziałek rano

— Aksakal

Biorąc pod uwagę pozytywną odpowiedź, to pytanie Q wydaje się możliwe.

— gung - Przywróć Monikę

Aby to miało sens dla ludzi, zastanów się, jak bardzo zależy ci na problemach z bronią i jak bardzo lubisz / nienawidzisz NRA. Korelacja będzie prawdopodobnie bliska zeru. Ludzie, którym najbardziej zależy na kwestiach związanych z bronią, mogą kochać lub nienawidzić NRA. Ale będą bardzo zależni. Ludzie, którym najbardziej zależy na kwestiach związanych z bronią, prawie nigdy nie znajdą się w środku spektrum pro-NRA / anty-NRA. Ludzie z górnej lub dolnej części spektrum pro-NRA / anty-NRA będą bardziej dbać o problemy z bronią niż ludzie w środku.

— David Schwartz

Przykro mi z powodu niejasnego pytania. Chcę tylko wyobrazić sobie, jak to działa w przypadku niektórych niezależnych dystrybucji o pewnej ekstremalnej zależności (niekoniecznie korelacji).

— Kmz

Istnieje wiele kopuł o słabej ogólnej zależności, ale silnej zależności od ogona; na dokładną ogólną korelację miałby wpływ rozkład rozkładów marginalnych.

— Glen_b

Oto przykład, w którym i mają nawet normalne marginesy. $X$ $Y$

Pozwolić:

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

Warunkowo na , niech jeśli lub przeciwnym razie, dla pewnej stałej . $X$ $Y = X$ $|X| > \phi$ $Y = -X$ $\phi$

Możesz pokazać, że niezależnie od , marginalnie mamy: $\phi$

Y \sim N (0, 1)

$Y \sim N(0,1)$

Istnieje wartość taka, że . Jeśli to . $\phi$ $\text{cor}(X,Y) = 0$ $\phi = 1.54$ $\text{cor}(X,Y)\approx 0$

Jednak i nie są niezależne, a skrajne wartości obu są całkowicie zależne. Zobacz symulację w R poniżej i poniższy wykres. $X$ $Y$

Nsim <- 10000
set.seed(123)

x <- rnorm(Nsim)
y <- ifelse(abs(x)>1.54,x,-x)

print(cor(x,y)) # 0.00284 \approx 0

plot(x,y)

extreme.x <- which(abs(x)>qnorm(0.95))
extreme.y <- which(abs(y)>qnorm(0.95))
extreme.both <- intersect(extreme.x,extreme.y)

print(cor(x[extreme.both],y[extreme.both])) # Exactly 1

— Chris Haug
źródło

(+1) Jeśli chcesz, aby rozkład był nie tylko nieskorelowany, ale także niezbyt zależny, możesz wykonać jego modyfikację, która zastąpi zamianę progu twardego rozmytym. Trudniej jest wyrównać matematykę, ale jest to wykonalne.

— Matthew Graves

Dziękuję Chris Haug! Twój pomysł pomaga mi zwizualizować to, co robię.

— Kmz