Jakie są właściwości rozkładu połowy Cauchy'ego?

Obecnie pracuję nad problemem, w którym muszę opracować algorytm Monte Carlo (MCMC) łańcucha Markowa dla modelu przestrzeni stanów.

Aby móc rozwiązać problem, podano mi następujące prawdopodobieństwo : p ( ) = 2I ( > 0) / (1+ ). jest odchyleniem standardowym . $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau^2$ $\tau$ $x$

Więc teraz wiem, że jest to rozkład w połowie Cauchy'ego, ponieważ rozpoznaję to na podstawie przykładów i dlatego, że mi powiedziano. Ale nie do końca rozumiem, dlaczego jest to rozkład „Pół Cauchy'ego” i jakie właściwości się z nim wiążą.

Jeśli chodzi o właściwości, nie jestem pewien, czego chcę. Jestem dość nowy w teorii ekonometrii. Dlatego bardziej zależy mi na zrozumieniu dystrybucji i tego, w jaki sposób korzystamy w kontekście modelu przestrzeni stanów. Sam model wygląda następująco:

\begin{aligned} y_{t} & = x_{t} + e_{t} \\ x_{t + 1} & = x_{t} + a_{t + 1} \\ a_{t + 1} & \sim N (0, τ^{2)}) \\ p (σ^{2)}) & \propto 1 / σ^{2)} \\ p (τ) & = \frac{2) ja (τ > 0)}{π (1 + τ^{2)})} \end{aligned}

$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$

Edycja: w p ( ). Dziękuję za zwrócenie na to uwagi. $\pi$ $\tau$

— Christoph
źródło

Wskaż, które nieruchomości Cię interesują: w końcu istnieje nieskończenie wiele, które można opisać.

— whuber

Połówki rozkładów symetrycznych mają dwukrotność wysokości funkcjonalnej obszaru dla swojego zakresu, który to zakres jest połową zakresu, często, ale niekoniecznie, zaczynając od zera .

x \geq 0

$x\geq 0$

— Carl

Połowa Cauchy'ego jest jedną z symetrycznych połówek rozkładu Cauchy'ego (jeśli nie jest określona, jest to odpowiednia prawidłowa połowa):

$\frac12$ $\frac{1}{\pi}$

Pół Cauchy ma wiele właściwości; niektóre są użytecznymi właściwościami, których możemy chcieć wcześniej.

Częstym wyborem parametru poprzedzającego na skali jest odwrotna gamma (zwłaszcza dlatego, że jest sprzężona z niektórymi znanymi przypadkami). Gdy pożądany jest słabo informacyjny przeor, stosowane są bardzo małe wartości parametrów.

Pół-Cauchy jest dość ciężki, a także w niektórych sytuacjach może być uważany za dość słabo informacyjny. Gelman (na przykład [1]) opowiada się za priory półtora tonu (w tym za pół Cauchy'ego) nad odwrotną gamma, ponieważ mają lepsze zachowanie dla małych wartości parametrów, ale uważa to za bardzo pouczające, gdy stosuje się parametr dużej skali *. W ostatnich latach Gelman bardziej skupiał się na pół-Cauchy. Artykuł autorstwa Polsona i Scotta [2] podaje dodatkowe powody, dla których warto wybrać w szczególności pół-Cauchy.

* Twój post zawiera standardowe pół-Cauchy. Gelman prawdopodobnie nie wybrałby tego wcześniej. Jeśli w ogóle nie masz sensu skali, odpowiada to stwierdzeniu, że skala może być tak samo wyższa niż 1, jak poniżej 1 (co może być tym, czego chcesz), ale nie pasowałaby do niektórych argumentów, które twierdzi Gelman dla.

[1] A. Gelman (2006),
„Wcześniejsze rozkłady parametrów wariancji w modelach hierarchicznych”
Analiza Bayesa , t. 1, N. 3, ss. 515–533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson i JG Scott (2012),
„On the Half-Cauchy Prior for a Global Scale Parameter”
Bayesian Analysis , tom. 7, nr 4, s. 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

1 / π

$1/\pi$

@Glen_b, jaka jest lokalizacja w pół-Cauchy w twojej odpowiedzi?

— rnorouzian

@morouzian, którą miarą lokalizacji jesteś zainteresowany? Uważany za członka rodziny o skali lokalizacji omawiany standardowy formularz ma lokalizację 0 i skalę 1, ale nie jestem pewien, czy o to pytasz. (Jego mediana wynosi 1, jak sugeruje się pod koniec mojej odpowiedzi, jeśli to pomoże).

— Glen_b