Od rozkładu równomiernego do rozkładu wykładniczego i odwrotnie

20

To prawdopodobnie trywialne pytanie, ale do tej pory moje poszukiwania były bezowocne, w tym w tym artykule na Wikipedii i dokumencie „Kompendium dystrybucji” .

Jeśli $X$ ma rozkład równomierny, czy oznacza to, że $e^X$ ma rozkład wykładniczy?

Podobnie, jeśli $Y$ ma rozkład wykładniczy, czy to znaczy, że $ln(Y)$ ma rozkład równomierny?

— Luchonacho
źródło

3

Dlaczego miałbyś się tak spodziewać? Z powodu imienia? Sprawdź en.wikipedia.org/wiki/…, aby zobaczyć, w jaki sposób inne dystrybucje są powiązane z wykładniczym. Także

...

\exp (X) \notin [0, \infty)

$\exp(X) \not\in [0, \infty)$

— Tim

Nie, myślę, że śledzę analogie ze standardowymi transformacjami funkcji, zapominając, że w przypadku rozkładów rzeczy są inne.

— luchonacho

25

Nie jest tak, że potęgowanie jednorodnej zmiennej losowej daje wykładniczy, podobnie jak logarytm wykładniczej zmiennej losowej nie daje jednolitego.

Niech będzie jednolity na i niech . $U$ $(0,1)$ $X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

Więc . $f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

To nie jest zmienna wykładnicza. Podobne obliczenia pokazują, że log wykładniczy nie jest jednolity.

Niech będzie standardowym wykładniczym, więc $Y$ . $F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Niech . Następnie $V=\ln Y$ . $F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

To nie jest mundur. (Rzeczywiście jest Gumbela -distributed zmiennej losowej, więc można nazwać dystrybucję A „przerzucony Gumbela”). $-V$ $V$

Jednak w każdym przypadku możemy to zobaczyć szybciej, po prostu rozważając granice zmiennych losowych. Jeśli jest jednorodne (0,1), mieści się w przedziale od 0 do 1, więc leży między a ... więc nie jest wykładnicze. Podobnie, dla wykładniczej , jest włączone , więc nie może być jednorodne (0,1), ani też żadne inne jednolite. $U$ $X=\exp(U)$ $1$ $e$ $Y$ $\ln Y$ $(-\infty,\infty)$

Możemy również przeprowadzić symulację i ponownie zobaczyć to od razu:

Po pierwsze, potęgowanie munduru -

[niebieska krzywa to gęstość (1 / x we wskazanym przedziale), którą wypracowaliśmy powyżej ...]

Po drugie, log wykładniczy:

To, co widzimy, jest dalekie od munduru! (Jeśli rozróżnimy wcześniej opracowany plik cdf, który dałby gęstość, odpowiada on kształtowi, który widzimy tutaj.)

Rzeczywiście, odwrotna metoda cdf wskazuje, że przyjęcie ujemnego logarytmu zmiennej jednolitej (0,1) daje standardowy zmienny wykładniczy, i odwrotnie, wykładniczość ujemnej standardowej wykładniczej daje jednolity. [Zobacz także transformata całkowa prawdopodobieństwa ]

$U=F_Y(Y)$ $Y = F^{-1}(U)$ $U$ $F_Y$

$U$ $P(U\leq u) = u$ $Y=-\ln (1-U)$ $1-U$ $Y=-\ln U$

$P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

$\log$

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Świetna odpowiedź! Dzięki. Teraz to widzę. Obliczyłem CDF w obu przypadkach, aw pierwszym przypadku otrzymałem wynik ujemny logu, aw drugim wartość bezwzględną odwrotności. Myślę, że moje zamieszanie dotyczy myślenia w kategoriach standardowych przekształceń funkcji, które nie następują, jeśli chodzi o rozkłady. +1 za wykresy!

— luchonacho

6

Prawie masz go od tyłu do przodu. Zapytałeś:

$X$ $e^X$
$Y$ $\ln(Y)$

w rzeczywistości

$X$ $[0,1]$ $-\log_e(X)$ $1$
$Y$ $1$ $e^{-Y}$ $[0,1]$

Mówiąc bardziej ogólnie, możesz powiedzieć:

$X$ $[a,b]$ $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ ma rozkład wykładniczy z parametrem szybkości $k$
gdyby $Y$ ma rozkład wykładniczy z parametrem szybkości $k$ następnie $e^{-kY}$ ma równomierny rozkład na $[0,1]$ podczas $a+(b-a)e^{-kY}$ ma równomierny rozkład na $[a,b]$

— Henz
źródło