Co można wnioskować na temat danych, gdy średnia arytmetyczna jest bardzo zbliżona do średniej geometrycznej?

Czy jest coś istotnego w średniej geometrycznej i średniej arytmetycznej, które są bardzo blisko siebie, powiedzmy ~ 0,1%? Jakie są domysły na temat takiego zbioru danych?

Pracowałem nad analizą zestawu danych i zauważam, że jak na ironię wartości są bardzo, bardzo bliskie. Nie do końca, ale blisko. Szybka kontrola rozsądności arytmetycznej nierówności średniej geometrycznej oraz przegląd akwizycji danych ujawniają, że nie ma nic podejrzanego w integralności mojego zbioru danych pod względem tego, jak wymyśliłem wartości.

descriptive-statistics mean geometric-mean

— użytkownik12289
źródło

Mała uwaga: najpierw sprawdź, czy wszystkie twoje dane są pozytywne; parzysta liczba wartości ujemnych może dać ci pozytywny produkt, a niektóre pakiety mogą nie oznaczać potencjalnego problemu (nierówność AM-GM polega na tym, że wszystkie wartości są dodatnie). Zobacz na przykład (w R): (podczas gdy średnia arytmetyczna wynosi 1)x=c(-5,-5,1,2,3,10); prod(x)^(1/length(x))

$\:\quad$ [1] 3.383363

— Glen_b

Aby rozwinąć punkt @ Glen_b, zbiór danych zawsze ma równą średnią arytmetyczną i geometryczną, a mianowicie zero. Możemy jednak rozłożyć te trzy wartości tak daleko, jak tylko chcemy.

{- x, 0, x}

$\{-x,0,x\}$

— hardmath

Zarówno średnie arytmetyczne, jak i geometryczne mają tę samą uogólnioną formułę , przy czym daje pierwsze, a daje drugie. Następnie intuicyjnie staje się jasne, że oba stają się coraz bliższe, gdy wartości danych są coraz bardziej równe, zbliżając się do stałej.

p = 1

$p=1$

p \to 0

$p \rightarrow 0$

x

$x$

— ttnphns

Odpowiedzi:

Średnia arytmetyczna jest powiązana ze średnią geometryczną poprzez nierówność średnią arytmetyczną-średnią geometryczną (AMGM), która stwierdza, że:

\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}},

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n} n \geq \sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n},$

gdzie osiągnięta jest równość iff . Prawdopodobnie więc twoje punkty danych są bardzo blisko siebie. $x_1=x_2=\cdots=x_n$

— Alex R.
źródło

To prawda. Zazwyczaj im mniejsza wariancja wartości, tym bliższe są te dwa środki.

— Michael M,

Wariancja musiałaby być niewielka W PORÓWNANIU do rozmiarów obserwacji. Zatem współczynnik zmienności

musiałby być mały.

σ / μ

$\sigma/\mu$

$\qquad$

— Michael Hardy

Czy AMGM oznacza coś? Jeśli tak, byłoby miło to wyrazić.

— Richard Hardy

@RichardHardy: AMGM oznacza „średnią arytmetyczną - średnią geometryczną”

@ user1108, dzięki, właściwie to dostałem po przeczytaniu innych postów. Po prostu myślę, że można to wyrazić w odpowiedzi (nie tylko w komentarzach).

— Richard Hardy

Opracowując odpowiedź @Alex R, jednym ze sposobów dostrzeżenia nierówności AMGM jest efekt nierówności Jensena. Według nierówności Jensena : Następnie weź wykładniczy z obu stron:

\log (\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i}) \geq \frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i}

$\log\left( \frac{1}{n} \sum_i x_i \right) \geq \frac{1}{n} \sum_i \log x_i$

\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i} \geq \exp (\frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i})

$\frac{1}{n} \sum_i x_i \geq \exp\left( \frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

Prawa strona jest średnią geometryczną, ponieważ $\left(x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)^{1/n} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

Kiedy nierówności AMGM utrzymują się na niemal równym poziomie? Kiedy efekt nierówności Jensena jest niewielki. To, co napędza tutaj efekt nierówności Jensena, to wklęsłość, krzywizna logarytmu. Jeśli twoje dane są rozproszone w obszarze, w którym logarytm ma krzywiznę, efekt będzie duży. Jeśli dane są rozproszone w regionie, w którym logarytm jest zasadniczo afiniczny, efekt będzie niewielki.

Na przykład, jeśli dane mają niewielką zmienność, są zlepione w wystarczająco małym sąsiedztwie, wówczas logarytm będzie wyglądał jak funkcja afiniczna w tym regionie (temat rachunku różniczkowego jest taki, że jeśli powiększysz wystarczająco płynnie, ciągłą funkcję, to będzie to wyglądać jak linia). W przypadku danych wystarczająco blisko siebie średnia arytmetyczna danych będzie zbliżona do średniej geometrycznej.

— Matthew Gunn
źródło

Zbadajmy zakres biorąc pod uwagę, że ich średnia arytmetyczna (AM) jest małą wielokrotnością ich średniej geometrycznej (GM) (z ). W pytaniu ale nie wiemy . $x_1\le x_2 \le \cdots \le x_n$ $1+\delta$ $\delta \ge 0$ $\delta\approx 0.001$ $n$

Ponieważ stosunek tych średnich nie zmienia się po zmianie jednostek miary, wybierz jednostkę, dla której GM wynosi . Zatem staramy się maksymalizować zastrzeżeniem, że i . $1$ $x_n$ $x_1+x_2+\cdots+x_n = n(1+\delta)$ $x_1\cdot x_2\cdots x_n = 1$

Zostanie to wykonane przez utworzenie , powiedzmy, i . A zatem $x_1=x_2=\cdots=x_{n-1}=x$ $x_n=z \ge x$

n (1 + δ) = x_{1} + \dots + x_{n} = (n - 1) x + z

$n(1+\delta) = x_1 + \cdots + x_n = (n-1)x + z$

1 = x_{1} \cdot x_{2} \dots x_{n} = x^{n - 1} z .

$1 = x_1\cdot x_2 \cdots x_n = x^{n-1}z.$

Rozwiązanie jest pierwiastkiem między a z $x$ $0$ $1$

(1 - n) x^{n} + n (1 + δ) x^{n - 1} - 1.

$(1-n)x^n + n(1+\delta)x^{n-1} - 1.$

Łatwo go znaleźć iteracyjnie. Tutaj wykresy optymalnego i w funkcji dla , od lewej do prawej: $x$ $z$ $\delta$ $n=6, 20, 50, 150$

Tak szybko, jak osiąga się każdy znaczący rozmiar nawet mały stosunek jest zgodne z jednym dużym oddalonej (górne krzywe) i czerwony grupy szczelnie klastra (niższe krzywe) niebieskim. $n$ $1.001$ $x_n$ $x_i$

Z drugiej strony załóżmy, że jest parzyste (dla uproszczenia). Minimalny zakres uzyskuje się, gdy połowa równa jeden , a druga połowa jest równa inną wartość . Teraz jest rozwiązanie (które można łatwo sprawdzić) $n=2k$ $x_i$ $x \le 1$ $z \ge 1$

x^{k} = 1 + δ \pm \sqrt{δ^{2} + 2 δ} .

$x^k = 1+\delta \pm \sqrt{\delta^2 + 2\delta}.$

W przypadku malutkiego możemy zignorować jako przybliżenie, a także przybliżać pierwiastek do pierwszego rzędu, dając $\delta$ $\delta^2$ $k^\text{th}$

x \approx 1 + \frac{δ - \sqrt{2 δ}}{k}; z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} .

$x \approx 1 + \frac{\delta-\sqrt{2\delta}}{k};\ z \approx 1 + \frac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k}.$

Zakres wynosi około . $\sqrt{32\delta}/n$

$n$ $\delta$

$x_i$

— Whuber
źródło

n = 150, δ = 0.002, x \approx 0.9954, z \approx 1.983, k = 75

$n=150, \delta=0.002, x\approx 0.9954, z \approx 1.983, k=75$

x \approx 0.99918, z \approx 1.00087

$x \approx 0.99918, z\approx 1.00087$

n = 150

$n=150$

x^{149} z = 1

$x^{149} z=1$

149 x + z = 150 (1.002) = 150.3

$149x + z=150(1.002)=150.3$

x = 0.995416

$x=0.995416$

z = 1.98308

$z=1.98308$

I tried what looks to me like your

z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} = 1 + \frac{0.002 + \sqrt{2 \times 0.002}}{75} \approx 1.00087

$z \approx 1 + \dfrac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k} = 1+\dfrac{0.002+\sqrt{2\times 0.002} }{75} \approx 1.00087$ and similarly for

x

$x$ . But now I see this is answering a different question

— Henry

@Henry That solves a different problem: those are the values that give a minimum range. I did not post graphs for those. Indeed, with your

x

$x$ and

z

$z$ we have

75 x + 75 z \approx 150.3

$75x+75z\approx 150.3$ and

x^{75} z^{75} \approx 1

$x^{75}z^{75}\approx 1$ , as required.

— whuber