Czytałem o paradoksie zakładów Blackwella na szafie Futility . Oto podsumowanie: otrzymasz dwie koperty, i . Koperty zawierają losową kwotę pieniędzy, ale nie wiesz nic o dystrybucji pieniędzy. Otworzysz jeden, sprawdzisz ile pieniędzy tam jest ( ) i będziesz musiał wybrać: weź kopertę czy ?E y
Futility Closet odnosi się do matematyka Leonarda Wapnera: „Niespodziewanie jest coś, co możesz zrobić, bez otwierania drugiej koperty, aby dać sobie większą niż szansę na poprawne wykonanie”.
Pomysł, który wydaje mi się niewłaściwy, jest następujący: wybierz liczbę losową . Jeśli , weź . Jeśli , wybierz .
Wapner: „Jeśli d mieści się w przedziale od x do y, wówczas Twoja prognoza (jak wskazano przez d) jest gwarantowana. Załóżmy, że dzieje się to z prawdopodobieństwem p. Jeśli d spadnie mniej niż zarówno x, jak i y, twoje przewidywania będą poprawne tylko w przypadku, gdy wybrana przez ciebie liczba x jest większa z dwóch. Jest na to 50 procent szans. Podobnie, jeśli d jest większe niż obie liczby, twoje prognozy będą poprawne tylko wtedy, gdy wybrana liczba będzie mniejsza z dwóch. Dzieje się tak również z 50-procentowym prawdopodobieństwem. ”
Jeśli prawdopodobieństwo, że jest w jest większe od zera, to średni sukces tej metody wynosi . Oznaczałoby to, że obserwując niepowiązaną zmienną losową daje nam dodatkowe informacje.
Myślę, że to wszystko źle i że problem polega na wybraniu losowej liczby całkowitej. Co to znaczy? Jakaś liczba całkowita? W takim przypadku, prawdopodobieństwo , że leży pomiędzy i jest równa zero, ponieważ zarówno i są ograniczone.
Jeśli mówimy, że istnieje limit maksymalnej kwoty pieniędzy, powiedzmy , lub przynajmniej wybieramy d spośród , to przepis sprowadza się do trywialnych porad dotyczących wyboru jeśli i wybranie jeśli .
Czy coś tu brakuje?
EDYTOWAĆ
OK, teraz zaczynam rozumieć, skąd bierze się pozorny paradoks. Wydawało mi się niemożliwe, aby niepowiązana zmienna losowa mogła dostarczyć dodatkowych informacji.
Pamiętaj jednak, że musimy świadomie wybrać rozkład d . Na przykład wybierz granice dla rozkładu jednolitego lub rozkładu Poissionian itp. Oczywiście, jeśli gramy dla orzeszków ziemnych, i wybraliśmy rozkład d, aby był jednolity na dolarów, . To ostatnie prawdopodobieństwo będzie zależeć przede wszystkim od naszej oceny, co może być w kopertach.
Innymi słowy, jeśli technika działa, wówczas narusza się założenie, że nie wiemy, jaki jest rozkład pieniędzy w kopertach (jak wybrano ilość pieniędzy na koperty). Jeśli jednak naprawdę nie wiemy, co jest w kopertach, to w najgorszym przypadku niczego nie tracimy, stosując je.
EDYCJA 2
Kolejna myśl. Biorąc pod uwagę , wybierzmy do rysowania ciągły nieujemny rozkład taki, że . Możemy to zrobić, czy mam rację? Postępujemy zgodnie z instrukcją - jeśli , zachowamy kopertę, jeśli , zmienimy kopertę. Rozumowanie się nie zmienia, w zależności od tego, jak wybieramy rozkład, może być tak, że (czy się mylę?).
Jednak biorąc pod uwagę sposób, w jaki wybraliśmy rozkład, to, co teraz robimy, jest równoważne rzutowi monetą. Rzucamy monetą, a jeśli są to głowy, zmieniamy koperty, jeśli są to ogony, trzymamy się koperty, którą trzymamy. Gdzie się mylę?
EDYCJA 3 :
OK, rozumiem teraz. Jeśli opieramy funkcję prawdopodobieństwa na (np. Próbkujemy z jednorodnego rozkładu w zakresie , to prawdopodobieństwo nie jest niezależne od .
Tak więc, jeśli (z prawdopodobieństwem ), zgadywanie jest zawsze prawidłowe, jak poprzednio. Jeśli jest jednak niższą liczbą, a , to ma większą szansę być niższą niż niż wyższą niż , więc jesteśmy nastawieni na błędną decyzję. To samo rozumowanie ma zastosowanie, gdy jest wyższą z dwóch liczb.
Oznacza to, że musimy wybrać proces rysowania niezależnie od . Innymi słowy, musimy uczynić przypuszczenie o parametrach dystrybucji, z której i są sporządzone; najgorsze, co się dzieje, to to, że wciąż zgadujemy losowo, ale najlepsze, co się dzieje, to to, że nasze domysły były prawidłowe - i wtedy mamy przewagę. Jak powinno to być lepsze niż zgadywanie „xiy będzie, moim zdaniem, co najmniej 1 $ , ale co najwyżej 10 $ , więc jeśli , zachowamy to, a jeśli nie, wymienimy to” widzieć.
Zostałem wprowadzony w błąd przez pop-sci sformułowanie problemu w książce Wapnera ( Nieoczekiwane oczekiwania: ciekawostki matematycznej kryształowej kuli ), która stwierdza
„W jakikolwiek sposób wybierz losową liczbę całkowitą dodatnią” (Wapner sugeruje rozkład geometryczny - rzucanie monetami aż do pojawienia się pierwszych głów, powtarzanie procesu, jeśli ) „Jeśli zgadnij wyżej i jeśli zgadnij niżej. (...) Zgadniesz poprawnie więcej niż 50 procent czasu, ponieważ wskazuje poprawnie więcej niż 50 procent czasu! "