Jaka jest różnica między regresją logistyczną a regresją ułamkową?

O ile mi wiadomo, różnica między modelem logistycznym a modelem odpowiedzi ułamkowej (frm) polega na tym, że zmienna zależna (Y), w której frm wynosi [0,1], ale logistyka to {0, 1}. Ponadto, frm używa estymatora quasi-prawdopodobieństwa do określenia jego parametrów.

Zwykle możemy użyć glmdo uzyskania modeli logistycznych przez glm(y ~ x1+x2, data = dat, family = binomial(logit)).

Dla frm zmieniamy family = binomial(logit)na family = quasibinomial(logit).

Zauważyłem, że możemy również użyć family = binomial(logit)do uzyskania parametru frm, ponieważ daje on te same oszacowane wartości. Zobacz następujący przykład

library(foreign)
mydata <- read.dta("k401.dta")


glm.bin <- glm(prate ~ mrate + age + sole + totemp, data = mydata
,family = binomial('logit'))
summary(glm.bin)

powrót,

Call:
glm(formula = prate ~ mrate + age + sole + totemp, family = binomial("logit"), 
    data = mydata)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-3.1214  -0.1979   0.2059   0.4486   0.9146  

Coefficients:
              Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  1.074e+00  8.869e-02  12.110  < 2e-16 ***
mrate        5.734e-01  9.011e-02   6.364 1.97e-10 ***
age          3.089e-02  5.832e-03   5.297 1.17e-07 ***
sole         3.636e-01  9.491e-02   3.831 0.000128 ***
totemp      -5.780e-06  2.207e-06  -2.619 0.008814 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 1166.6  on 4733  degrees of freedom
Residual deviance: 1023.7  on 4729  degrees of freedom
AIC: 1997.6

Number of Fisher Scoring iterations: 6

A dla family = quasibinomial('logit'),

glm.quasi <- glm(prate ~ mrate + age + sole + totemp, data = mydata
,family = quasibinomial('logit'))
summary(glm.quasi)

powrót,

Call:
glm(formula = prate ~ mrate + age + sole + totemp, family = quasibinomial("logit"), 
    data = mydata)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-3.1214  -0.1979   0.2059   0.4486   0.9146  

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  1.074e+00  4.788e-02  22.435  < 2e-16 ***
mrate        5.734e-01  4.864e-02  11.789  < 2e-16 ***
age          3.089e-02  3.148e-03   9.814  < 2e-16 ***
sole         3.636e-01  5.123e-02   7.097 1.46e-12 ***
totemp      -5.780e-06  1.191e-06  -4.852 1.26e-06 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for quasibinomial family taken to be 0.2913876)

    Null deviance: 1166.6  on 4733  degrees of freedom
Residual deviance: 1023.7  on 4729  degrees of freedom
AIC: NA

Number of Fisher Scoring iterations: 6

Oszacowane Beta z obu familysą takie same, ale różnica polega na wartościach SE. Jednak, aby uzyskać poprawną SE, musimy użyć library(sandwich)jak w tym poście .

Teraz moje pytania:

1. Jaka jest różnica między tymi dwoma kodami?
2. Czy FRM ma wkrótce uzyskać solidną SE?

Jeśli moje zrozumienie jest nieprawidłowe, proszę podać kilka sugestii.

Jeśli twoje pytanie brzmi: jaka jest różnica między tymi dwoma kodami?

Spojrzenie na ?glmmówi See family for details of family functions, a spojrzenie na ?familyujawnia następujący opis:

Rodziny quasibinomial i quasipoisson różnią się od dwumianowych i rodzin Poissona tylko tym, że parametr dyspersji nie jest ustawiony na jeden, więc mogą modelować nadmierną dyspersję.

To również widzisz w swoich wynikach. I to jest różnica między obydwoma modelami / kodami.

Jeśli twoje pytanie brzmi: jaka jest różnica między regresją logistyczną a regresją ułamkową?

Jak poprawnie zidentyfikujesz, model jest logistyczny, jeśli zmienne zależne mają wartość 0 lub 1. Papke i Wooldridge wykazali, że możesz używać GLM tego formularza dla ułamków, a także do oszacowania parametrów, ale musisz obliczyć solidne błędy standardowe. Nie jest to wymagane w przypadku regresji logistycznej, a niektórzy uważają, że nie powinieneś obliczać solidnych standardowych błędów w modelach probit / logit. Chociaż jest to inna debata.

Teoretyczne podstawy pochodzą ze słynnego artykułu Gourieroux, Monfort i Trognonw Econometrica w 1984 r. Pokazują one, że (w pewnych warunkach prawidłowości itp.) parametry maksymalnego prawdopodobieństwa uzyskane przez maksymalizację prawdopodobieństwa, które należą do liniowej rodziny wykładniczej, są spójnymi szacunkami dla parametrów należących do jakiegokolwiek innego prawdopodobieństwa w liniowej rodzinie wykładniczej. W pewnym sensie używamy tutaj rozkładu logistycznego, nawet jeśli nie jest on dokładnie prawidłowy, ale parametry są nadal spójne z parametrami, które chcemy uzyskać. Tak więc, jeśli twoje pytanie pochodzi z obserwacji, że używamy tej samej funkcji prawdopodobieństwa do oszacowania zarówno logistycznych, jak i ułamkowych modeli odpowiedzi, z wyjątkiem tego, że wymieniamy naturę zmiennej zależnej, to jest to intuicja.