Jak dodać dwie zależne zmienne losowe?

Wiem, że nie mogę użyć splotu. Mam dwie losowe zmienne A i B i są one zależne. Potrzebuję funkcji dystrybucyjnej A + B

random-variable non-independent

— Mesko
źródło

Jeśli A i B są zależne, wówczas wymagany jest łączny rozkład A i B, aby otrzymać rozkład A + B.

— vinux

Nie rozumiem twojego pytania. Co wiesz i dlaczego nie możesz użyć splotu?

— Xi'an

Wiem, że funkcja dystrybuująca A i B. f A i B to dwie niezależne, ciągłe zmienne losowe, wtedy mogę znaleźć rozkład Z = A + B, biorąc splot f (A) ig (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞ − ∞f (A) g (z-B) dA Ale co mogę zrobić, jeśli nie są niezależni? Przepraszam, jeśli to głupie pytanie.

— Mesko

To nie jest głupie pytanie Mesko, ale ludzie zwracają uwagę, że potrzebuje więcej informacji. Odpowiedź zależy od tego, w jaki sposób

nie są niezależne. Pełny opis tego podaje wspólna dystrybucja

, o co prosi vinux. Xi'an dokładniej sonduje, ale tak naprawdę szuka tego samego rodzaju informacji, aby pomóc ci robić postępy.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

Odpowiedzi:

Jak wskazuje vinux, potrzebny jest wspólny rozkład i , a odpowiedź OP Mesko „Wiem, że funkcja dystrybuująca A i B” nie jest oczywista, że twierdzi, że zna wspólny rozkład A i B: może dobrze powiedzieć, że zna rozkład krańcowy A i B. Jednak zakładając, że Mesko zna rozkład łączny, odpowiedź jest podana poniżej. $A$ $B$

Z całki splotu w komentarzu OP Mesko (która, nawiasem mówiąc, jest błędna), można wywnioskować, że Mesko jest zainteresowany ciągłymi zmiennymi losowymi i ze wspólną funkcją gęstości prawdopodobieństwa . W takim przypadku $A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$ Gdyisą niezależne, funkcja gęstości złącza uwzględnia iloczyn funkcji gęstości brzeżnej:

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ i otrzymujemy bardziej znaną formułę splotu dla niezależnych zmiennych losowych. Podobny wynik dotyczy również dyskretnych zmiennych losowych.

Sprawy są bardziej skomplikowane, jeśli i nie są razem ciągłe lub jeśli jedna zmienna losowa jest ciągła, a druga dyskretna. Jednakże, we wszystkich przypadkach, można zawsze znaleźć skumulowanego rozkładu prawdopodobieństwa z w stosunku do całkowitej masy prawdopodobieństwa w strefie płaszczyzny określonej jako $A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ i obliczyć funkcję gęstości prawdopodobieństwa lub funkcję masy prawdopodobieństwa, lub cokolwiek, z funkcji rozkładu. W rzeczywistości powyższy wzór uzyskuje się, pisząc jako podwójną całkę funkcji gęstości złącza w określonym obszarze, a następnie „różnicując pod znakiem całki”. $F_{A+B}(z)$

— Dilip Sarwate
źródło

Jest to związane z moim komentarzem i odpowiedzią na inne pytanie dotyczące wspólnych dystrybucji kilka dni temu.

— Xi'an

Wcześniej nie wiem, czy to, co mówię, jest poprawne, ale utknąłem na tym samym problemie i próbowałem go rozwiązać w ten sposób:

f_{A, B} (a, b) = (a + b) H (a, b) H (- a + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$

Oto wolframowa prezentacja połączenia: A

Obliczając całkę mam: B

Wydrukowano: C

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$

— R.Lac
źródło

Pytanie nie wydawało się wystarczająco szczegółowe na temat wspólnej dystrybucji, aby uzyskać odpowiedź. Jak wymyśliłeś jeden?

— Michael R. Chernick

+1 za prawidłowe rozwiązanie rzekomego kontrprzykładu w odpowiedzi @ cdlg i wykazanie, że jeśli przeprowadzone poprawnie obliczenia dają poprawną odpowiedź, a nie błędne s skutkuje odpowiedzią cdlg. Nie mogę uwierzyć, że ta odpowiedź otrzymała dwa pozytywne głosy.

— Dilip Sarwate