Podana strona Wikipedii tak naprawdę nie używa terminu „transformacja stabilizująca wariancję”. Termin „transformacja stabilizująca wariancję” jest ogólnie używany do wskazania transformacji, które sprawiają, że wariancja zmiennej losowej jest stała. Chociaż w przypadku Bernoulliego dzieje się tak z transformacją, nie jest to dokładnie ten cel. Celem jest uzyskanie jednolitego rozkładu, a nie tylko wariantu stabilizującego wariancję.
Przypomnij sobie, że jednym z głównych celów używania Jeffreysa przedtem jest niezmienność w trakcie transformacji. Oznacza to, że jeśli ponownie sparametryzujesz zmienną, pierwszeństwo się nie zmieni.
1.
W Jeffreys wcześniejsze w tym przypadku Bernoulliego, jak podkreślił, jest beta .
p γ ( γ ) ∝ 1( 1 / 2 , 1 / 2 )
pγ( γ) ∝ 1γ( 1 - γ)-------√.
Ponownie porównując z , możemy znaleźć rozkład θ . Najpierw zobaczmy, że θ = arcsin ( √γ= grzech2)( θ )θ, a ponieważ0<γ<1,0<θ<π/2. Przypomnij sobie, żesin2(x)+cos2(x)=1.
F θ ( x )θ = arcsin( γ--√)0 < γ< 10 < θ < π/ 2grzech2)( x ) + cos2)( x ) = 1
faθ( x )faθ( x )= P( θ < x )= P( grzech2)( θ ) < grzech2)(x))=P(γ<sin2(x))=Fγ(sin2(x))=dFγ(sin2(x)dx=2sin(x)cos(x)pγ(sin2(x))∝sin(x)cos(x)1sin2(x)(1−sin2(x))−−−−−−−−−−−−−−−−√=1.
Thus θ is the uniform distribution on (0,π/2). This is why the sin2(θ) transformation is used, so that the re-parametrization leads to a uniform distribution. The uniform distribution is now the Jeffreys prior on θ (since Jeffreys prior is invariant under transformation). This answers your first question.
2.
Often in Bayesian analysis one wants a uniform prior when there is not enough information or prior knowledge about the distribution of the parameter. Such a prior is also called a "diffuse prior" or "default prior". The idea is to not commit to any value in the parameter space more than other values. In such a case the posterior is then completely dependent on the data likelihood. Since,
q(θ|x)∝f(x|θ)f(θ)∝f(x|θ).
If the transformation is such that the transformed space is bounded, (like (0,π/2) in this example), then the uniform distribution will be proper. If the transformed space is unbounded, then the uniform prior will be improper, but often the resulting posterior will be proper. Although, one should always verify that this is the case.