(Pierwotnie opublikowane na MSE.)
Widziałem wiele heurystycznych dyskusji na temat klasycznego centralnego twierdzenia granicznego mówiących o rozkładzie normalnym (lub dowolnym rozkładzie stabilnym) jako „atraktorze” w przestrzeni gęstości prawdopodobieństwa. Weźmy na przykład następujące zdania na początku traktowania Wikipedii :
W bardziej ogólnym zastosowaniu, centralnym twierdzeniem granicznym jest dowolny zestaw twierdzeń o słabej zbieżności w teorii prawdopodobieństwa. Wszystkie wyrażają fakt, że suma wielu niezależnych i identycznie rozmieszczonych (iid) zmiennych losowych, lub alternatywnie, zmiennych losowych o określonych typach zależności, będzie zwykle rozkładana zgodnie z jednym z małego zestawu rozkładów atraktora . Kiedy wariancja zmiennych iid jest skończona, rozkład atraktora jest rozkładem normalnym.
Ten dynamiczny język systemów jest bardzo sugestywny. Feller mówi także o „przyciąganiu” w swoim traktowaniu CLT w drugim tomie (zastanawiam się, czy to jest źródło tego języka), a Yuval Flimus w tej notatce mówi nawet o „basenie przyciągania”. (Nie sądzę, żeby naprawdę miał na myśli „dokładną formę basenu przyciągania można wcześniej wydedukować”, ale raczej „dokładną formę atraktora można wcześniej wydedukować”; jednak język istnieje.) Moje pytanie brzmi: czy mogą one precyzyjne analogie dynamiczne?Nie znam książki, w której się znajdują - choć wiele książek podkreśla, że rozkład normalny jest szczególny ze względu na stabilność podczas splotu (a także stabilność podczas transformacji Fouriera). To w zasadzie mówi nam, że normalna jest ważna, ponieważ jest stałym punktem. CLT idzie dalej, mówiąc nam, że nie jest to tylko punkt stały, ale atraktor.
Aby uczynić ten obraz geometryczny bardziej precyzyjnym, wyobrażam sobie, że przestrzeń fazowa będzie odpowiednią przestrzenią funkcji nieskończenie wymiarowej (przestrzeń gęstości prawdopodobieństwa), a operator ewolucji będzie powtarzanym splotem z warunkiem początkowym. Ale nie mam pojęcia o technicznych szczegółach związanych z wykonaniem tego obrazu ani o tym, czy warto go kontynuować.
Sądzę, że skoro nie mogę znaleźć leczenia, które byłoby zgodne z tym podejściem, musi być coś złego w moim odczuciu, że można to zrobić lub że byłoby to interesujące. W takim przypadku chciałbym usłyszeć dlaczego.
EDYCJA : Istnieją trzy podobne pytania w Math Stack Exchange i MathOverflow, którymi mogą zainteresować się czytelnicy: