Czy istnieje inna interpretacja rozkładu gamma z parametrem kształtu niecałkowitym?

Dobrze wiadomo, że zmienna losowa jest rozkładem gamma z parametrem kształtu liczby całkowitej $k$ jest równa sumie kwadratów $k$ normalnie rozmieszczone zmienne losowe.

Ale co mogę powiedzieć o losowej zmiennej rozproszonej gamma z liczbą całkowitą $k$ ? Czy w ogóle jest jakaś inna interpretacja niż rozkład gamma?

probability gamma-distribution

— stollenm
źródło

Gamma z parametrem kształtu

k / 2

$k/2$ jest sumą kwadratów

k

$k$ normalnie rozmieszczone zmienne losowe. Gamma z parametrem kształtu

k

$k$ jest sumą

k

$k$ iid rozkłady wykładnicze.

— Greenparker

Jeszcze jedna interpretacja gamma z liczbą całkowitą

k

$k$ : to czas oczekiwania do

k

$k$ przybycie do jednowymiarowego procesu Poissona z intensywnością

1 / θ

$1/\theta$ .

— Stephan Kolassa

Gdyby $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ i $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$ są wtedy niezależni

X + Y \sim G (α + β, 1)

$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$ W szczególności jeśli

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ , jest rozpowszechniany z taką samą dystrybucją jak

X_{1} + \dots + X_{n} \sim G (α, 1) X_{i} \overset{iid}{\sim} G (α / n, 1)

$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$ dla każdego

n \in N

$n\in\mathbb N$ . (Ta właściwość nosi nazwę nieskończonej podzielności .) Oznacza to, że jeśli

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ kiedy

α

$\alpha$ nie jest liczbą całkowitą,

X

$X$ ma taki sam rozkład jak

Y + Z

$Y+Z$ z

Z

$Z$ niezależny od

Y

$Y$ i

Y \sim G (⌊ α ⌋, 1) Z \sim G (α - ⌊ α ⌋, 1)

$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$ Oznacza to również, że kształty o wartościach całkowitych

α

$\alpha$ nie mają szczególnego znaczenia dla gamma.

I odwrotnie, jeśli $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ z $\alpha<1$ , ma taki sam rozkład jak $YU^{1/\alpha}$ kiedy $Y$ jest niezależny od $U\sim{\cal U}(0,1)$ i

Y \sim G (α + 1, 1)

$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$ I stąd rozkład

G (α, 1)

${\cal G}(\alpha,1)$ jest niezmienny w

X \sim (X^{'} + ξ) U^{1 / α} X, X^{'} \sim G (α, 1) U \sim U (0, 1) ξ \sim E (1)

$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$

— Xi'an
źródło