Różnice statystyczne w dwóch formatach kwalifikacyjnych Formuły 1

15

Właśnie przeczytałem ten artykuł BBC na temat formatu kwalifikacji w Formule 1.

Organizatorzy chcą, aby kwalifikacje były mniej przewidywalne, tj. Aby zwiększyć zmienność statystyczną wyniku. Przeglądając kilka nieistotnych szczegółów, w tej chwili kierowcy są klasyfikowani według najlepszego pojedynczego okrążenia z (konkretnie) dwóch prób.

Jeden szef F1, Jean Todt, zaproponował, że uszeregowanie kierowców według średniej z dwóch okrążeń zwiększy statystyczną zmienność, ponieważ kierowcy mogą dwa razy częściej popełniać błąd. Inne źródła argumentowały, że jakiekolwiek uśrednienie z pewnością zmniejszyłoby zmienność statystyczną.

Czy możemy powiedzieć, kto ma rację przy rozsądnych założeniach? Przypuszczam, że sprowadza się do względnego wariancji $\text{mean}(x,y)$ w funkcji $\text{min}(x,y)$ , gdzie i są zmiennymi losowymi reprezentujące dwa razy okrążenie kierowcy? $x$ $y$

variance

— innisfree
źródło

5

Myślę, że to zależy od rozkładu czasów okrążeń.

Niech będą niezależne, identycznie rozmieszczone. $X,Y$

Jeśli $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$ $Var(\frac{X+Y}{2}) = \frac{1}{8} < Var( \min(X,Y)) = \frac{3}{16}.$
Jeżeli jednak , to $P(X=0) = 0.9, P(X=100)=0.1$ $Var(\frac{X+Y}{2}) = 450 > Var( \min(X,Y)) = 99.$

Jest to zgodne z argumentem wspomnianym w pytaniu o popełnienie błędu (tj. Działanie wyjątkowo długiego czasu z małym prawdopodobieństwem). Musielibyśmy zatem znać rozkład czasów okrążeń, aby podjąć decyzję.

— Sandris
źródło

Interesujące, myślę, że coś takiego działa również w przypadku ciągłych RV. Co dokładnie poszło nie tak w poprzednim dowodzie?

— innisfree

1

O ile rozumiem, argumentuje, że biorąc pod uwagę

, odległość między

a średnią jest zawsze mniejsza niż odległość między

a

, zatem wariancja średniej musi być mniejsza niż wariancja

. Nie dotyczy to jednak:

x \geq y

$x\geq y$

x

$x$

x

$x$

min (x, y)

$\min(x,y)$

min (x, y)

$\min(x,y)$

min (x, y)

$\min(x,y)$ może pozostać konsekwentnie daleko, podczas gdy średnia jest bardzo różna. Gdyby dowód był oparty na faktycznych obliczeniach, łatwiej byłoby wskazać dokładne miejsce, w którym popełnił błąd (lub sprawdzić, czy mimo wszystko jest poprawny).

— sandris

2

Bez utraty ogólności przyjmijmy, że i że oba zmienne pochodzą z tego samego rozkładu z określoną średnią i wariancją. $y \leq x$

poprawia przez, $\{y,x\}$ $\{x\}$

przypadek 1, oznacza: , $\frac{y-x}{2}$

przypadek 2, min: . $y-x$

Dlatego średnia ma połowę wpływu na poprawę (która wynika z wariancji) niż przyjmowanie minimum (dla 2 prób). Oznacza to, że średnia tłumi zmienność.

— James
źródło

Nie jestem przekonany, czy to całkiem poprawne, czy mógłbyś podać formalne wyjaśnienie?

— sandris

2

Oto mój dowód Var [Mean]

Dla 2 zmiennych losowych x, y istnieje zależność między ich średnią a maksimum i min.

Dlatego

2) M. mi za n (x, y) = M. ja n (x, y) + M. za x (x, y)

$2\,Mean(x,y) = Min(x,y) + Max(x,y)$

Jeśli teraz założymy, że rozkład jest symetryczny wokół średniej, wówczas

Następnie

4 V. za r [M. mi za n] = V. za r [M. ja n] + V. za r [M. za x] + 2) do o v [M. ja n, M. za x]

$4\,Var[Mean] = Var[Min]+Var[Max]+2\,Cov[Min,Max]$

V. za r [M. ja n (x, y)] = V. za r [M. za x (x, y)]

$Var[Min(x,y)]=Var[Max(x,y)]$

4 V. za r [M. mi za n] = 2) V. za r [M. ja n] + 2) do o v [M. ja n, M. za x]

$4\,Var[Mean] = 2\,Var[Min] + 2\,Cov[Min,Max]$

do o v [M. ja n, M. za x] <= s q r t (V. za r [M. ja n] V. za r [M. za x]) = V. za r [M. ja n]

$Cov[Min,Max]<=sqrt(Var[Min]Var[Max])=Var[Min]$ W związku z tym

V. za r [M. mi za n] <= V. za r [M. ja n]

$Var[Mean]<=Var[Min]$ Łatwo też zauważyć na podstawie tego wyprowadzenia, że aby odwrócić tę nierówność, potrzebujesz rozkładu z bardzo ostrym skróceniem rozkładu po ujemnej stronie średniej. Na przykład dla rozkładu wykładniczego średnia ma większą wariancję niż min.

— sega_sai
źródło

1

Nice question, thank you! I agree with @sandris that distribution of lap times matters, but would like to emphasize that causal aspects of the question need to be addressed. My guess is that F1 wants to avoid a boring situation where the same team or driver dominates the sport year after year, and that they especially hope to introduce the (revenue-generating!) excitement of a real possibility that 'hot' new drivers can suddenly arise in the sport.

That is, my guess is that there is some hope to disrupt excessively stable rankings of teams/drivers. (Consider the analogy with raising the temperature in simulated annealing.) The question then becomes, what are the causal factors at work, and how are they distributed across the population of drivers/teams so as to create persistent advantage for current incumbents. (Consider the analogous question of levying high inheritance taxes to 'level the playing field' in society at large.)

Suppose incumbent teams are maintaining incumbency by a conservative strategy heavily dependent on driver experience, that emphasizes low variance in lap times at the expense of mean lap time. Suppose that by contrast the up-and-coming teams with (say) younger drivers, necessarily adopt a more aggressive (high-risk) strategy with larger variance, but that this involves some spectacular driving that sometimes 'hits it just right' and achieves a stunning lap time. Abstracting away from safety concerns, F1 would clearly like to see some such 'underdogs' in the race. In this causal scenario, it would seem that a best-of-n-laps policy (large $n$ ) would help give the upstarts a boost -- assuming that the experienced drivers are 'set in their ways', and so couldn't readily adapt their style to the new policy.

Suppose, on the other hand, that engine failure is an uncontrollable event with the same probability across all teams, and that the current rankings correctly reflect genuine gradation in driver/team quality across many other factors. In this case, the bad luck of an engine failure promises to be the lone 'leveling factor' that F1 could exploit to achieve greater equality of opportunity--at least without heavy-handed ranking manipulations that destroy the appearance of 'competition'. In this case, a policy that heavily penalizes engine failures (which are the only factor in this scenario not operating relatively in favor of the incumbents) promises to promote instability in rankings. In this case, the best-of-n policy mentioned above would be exactly the wrong policy to pursue.

— David C. Norris
źródło

0

I generally agree with other answers that the average of two runs will have a lower variance, but I believe they are leaving out important aspects underlying the problem. A lot has to do with how drivers react to the rules and their strategies for qualifying.

For instance, with only one lap to qualify, drivers would be more conservative, and therefore more predictable and more boring to watch. The idea with two laps is to allow the drivers to take chances on one to try to get that "perfect lap", with another available for a conservative run. More runs would use up a lot of time, which could also be boring. The current setup might just be the "sweet spot" to get the most action in the shortest time frame.

Also note that with an averaging approach, the driver needs to find the fastest repeatable lap time. With the min approach, the driver needs to drive as fast as possible for only one lap, probably pushing further than they would under the averaging approach.

This discussion is closer to game theory. Your question might get better answers when framed in that light. Then one could propose other techniques, like the option for a driver to drop the first lap time in favor of a second run, and possibly a faster or slower time. Etc.

Also note that a change in qualifying was attempted this year that generally pushed drivers into one conservative lap. https://en.wikipedia.org/wiki/2016_Formula_One_season#Qualifying The result was viewed as a disaster and quickly cancelled.

— Maddenker
źródło