Związek między wariancją a odległościami par w obrębie zmiennej

Proszę udowodnić, że jeśli mamy dwie zmienne (równa wielkość próby) i a wariancja w jest większa niż w , wówczas suma kwadratowych różnic (tj. Kwadratowych odległości euklidesowych) między punktami danych w jest również większa niż że w . $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
źródło

Wyjaśnij: Czy kiedy mówisz wariancję , masz na myśli wariancję próbki ? Kiedy mówisz suma różnic kwadratowych , masz na myśli

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— kardynał

Zakładając powyższe:

uważnie rozliczając elementy w perspektywie długoterminowej. Wyobrażam sobie, że możesz wypełnić (małe luki). Wynik jest trywialny.

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— kardynał

Istnieje również sposób na wykonanie tego „bez” żadnych obliczeń, biorąc pod uwagę fakt, że jeśli

są identyczne z

(z dobrze zdefiniowaną wariancją), to

. Wymaga to jednak nieco mocniejszego zrozumienia koncepcji prawdopodobieństwa.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— kardynał

W przypadku pokrewnego pytania wykorzystałem wizualizację tego, co się tutaj dzieje, w odpowiedzi na stronie stats.stackexchange.com/a/18200 : różnice kwadratowe to obszary kwadratów.

— whuber

@whuber: Bardzo miło. Jakoś po drodze tęskniłem za twoją odpowiedzią.

— kardynał

Uwaga: wystarczy podać „oficjalną” odpowiedź, aby uzupełnić rozwiązania nakreślone w komentarzach

Żadne z , , lub są zmieniane przez przesunięcie wszystkich równomiernie do dla pewnej stałej lub przesunięcia całego $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ do $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
$\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ .
Simple expansion of the squares and rearranging the sums give
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ with a similar result for the $Y$ 's.

The proof is immediate.

— whuber
źródło