Dziękuję za to proste, ale dogłębne pytanie dotyczące podstawowych pojęć statystycznych dotyczących średniej, mediany i trybu. Istnieje kilka wspaniałych metod / demonstracji służących wyjaśnieniu i uchwyceniu intuicyjnego - a nie arytmetycznego - zrozumienia tych pojęć, ale niestety nie są one powszechnie znane (lub nauczane w szkole, o ile mi wiadomo).
Oznaczać:
1. Punkt równowagi: Średni jako punkt podparcia
Najlepszym sposobem na zrozumienie koncepcji jest myślenie o niej jako punkcie równowagi na jednolitym pręcie. Wyobraź sobie serię punktów danych, takich jak {1,1,1,3,3,6,7,10}. Jeżeli każdy z tych punktów jest oznaczony na jednolitym pręcie i w każdym punkcie są umieszczone równe ciężary (jak pokazano poniżej), to punkt podparcia musi być umieszczony na środku danych, aby pręt mógł się wyważyć.
Ta wizualna demonstracja prowadzi również do interpretacji arytmetycznej. Uzasadnieniem arytmetycznym jest to, że aby punkt równowagi był zrównoważony, całkowite ujemne odchylenie od średniej (po lewej stronie punktu podparcia) musi być równe całkowitemu dodatniemu odchyleniu od średniej (po prawej stronie). Stąd średnia działa jako punkt bilansujący w rozkładzie.
Ta grafika pozwala na natychmiastowe zrozumienie średniej, ponieważ odnosi się do rozkładu punktów danych. Inną właściwością średniej, która staje się łatwo widoczna z tej demonstracji, jest fakt, że średnia zawsze będzie znajdować się między wartościami minimalną i maksymalną w rozkładzie. Również wpływ wartości odstających można łatwo zrozumieć - że obecność wartości odstających spowodowałaby przesunięcie punktu równowagi, a zatem wpłynęłaby na średnią.
2. Wartość redystrybucji (sprawiedliwy udział)
Innym interesującym sposobem zrozumienia tego środka jest myślenie o nim jako o wartości redystrybucji . Interpretacja ta wymaga pewnego zrozumienia arytmetyki obliczania średniej, ale wykorzystuje jakość antropomorficzną - mianowicie socjalistyczną koncepcję redystrybucji - do intuicyjnego uchwycenia pojęcia średniej.
Obliczanie średniej polega na zsumowaniu wszystkich wartości w rozkładzie (zestawie wartości) i podzieleniu sumy przez liczbę punktów danych w rozkładzie.
x¯= ( ∑i = 1nxja) / n
Jednym ze sposobów zrozumienia uzasadnienia tego obliczenia jest myślenie o każdym punkcie danych jak o jabłku (lub innym zamiennym elemencie). Korzystając z tego samego przykładu co poprzednio, mamy osiem osób w naszej próbie: {1,1,1,3,3,3,6,7,10}. Pierwsza osoba ma jedno jabłko, druga osoba ma jedno jabłko i tak dalej. Teraz, jeśli ktoś chce redystrybuować liczbę jabłek, tak aby była „sprawiedliwa” dla wszystkich, można użyć do tego średniej dystrybucji. Innymi słowy, możesz dać każdemu cztery jabłka (tj. Wartość średnią), aby rozkład był sprawiedliwy / równy. Ta demonstracja zapewnia intuicyjne wyjaśnienie powyższej formuły: podzielenie sumy rozkładu przez liczbę punktów danych jest równoważne podzieleniu całego rozkładu równo na wszystkie punkty danych.
3. Visual Mnemonics
Poniższe wizualne mnemoniki zapewniają interpretację średniej w unikalny sposób:
Jest to mnemonik interpretacji wartości wyrównania średniej. Wysokość poprzeczki A jest średnią wysokości czterech liter.
Jest to kolejny mnemonik dla interpretacji punktu równowagi dla średniej. Pozycja punktu podparcia jest z grubsza średnią pozycji M, E i podwojonego N.
Mediana
Po zrozumieniu interpretacji średniej jako punktu równowagi na pręcie , medianę można zademonstrować poprzez rozszerzenie tego samego pomysłu: punktu równowagi na naszyjniku .
Zastąp pręt sznurkiem, ale zachowaj oznaczenia danych i wagi. Następnie na końcach przymocuj drugi sznur, dłuższy niż pierwszy, aby utworzyć pętlę [jak naszyjnik] i ułóż pętlę na dobrze nasmarowanym kole pasowym.
Załóżmy początkowo, że wagi są różne. Równowaga koła pasowego i pętli, gdy z każdej strony jest ta sama liczba obciążników. Innymi słowy, pętla „równoważy się”, gdy mediana jest najniższym punktem.
Zauważ, że jeśli jeden z obciążników zostanie przesunięty w górę pętli, tworząc wartość odstającą, pętla się nie porusza. Dowodzi to fizycznie zasady, że wartości odstające nie mają wpływu na medianę.
Tryb
Tryb jest prawdopodobnie najłatwiejszym do zrozumienia pojęciem, ponieważ obejmuje najbardziej podstawową operację matematyczną: liczenie. Fakt, że jest równy najczęściej występujących prowadzi punkt danych, aby skrót: „ M ost-często O ccurring D ata E lement”.
Tryb ten można również pomyśleć o najbardziej typowej wartości w zestawie. (Chociaż głębsze zrozumienie „typowego” doprowadziłoby do reprezentatywnej lub średniej wartości. Jednak właściwe jest zrównanie „typowego” z trybem opartym na bardzo dosłownym znaczeniu słowa „typowy”.)
Źródła:
- Mediana jest punktem równowagi - Lynch, The College Mathematics Journal (2009)
- Zapamiętywanie statystyk: nowe mnemoniki i motywacje - mniejsza, edukacja statystyczna, JSM (2011)
- O wykorzystaniu Mnemoniki w nauczaniu statystyki - pomniejsze, statystyki i aplikacje wspomagane modelem, 6 (2), 151-160 (2011)
- Co oznacza to? - Watier, Lamontagne and Chartier, Journal of Statistics Education, tom 19, nr 2 (2011)
- Typowy? Pomysły dzieci i nauczycieli na temat średniej - Russell i Mokros, ICOTS 3 (1990) OGÓLNA REFERENCJA: http://www.amstat.org/publications/jse/v22n3/lesser.pdf