Czy funkcję delta Diraca należy uważać za podklasę rozkładu Gaussa?

W Wikidata możliwe jest powiązanie rozkładów prawdopodobieństwa (jak wszystko inne) w ontologii, np. Że rozkład t jest podklasą niecentralnego rozkładu t, patrz np.

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Istnieją różne przypadki ograniczające, np. Kiedy stopnie swobody w rozkładzie t osiągają nieskończoność lub gdy wariancja zbliża się do zera dla rozkładu normalnego (rozkład Gaussa). W tym drugim przypadku dystrybucja pójdzie w kierunku funkcji delta Diraca.

Zauważam, że na angielskiej Wikipedii parametr wariancji jest obecnie określany jako większy od zera, więc przy ścisłej interpretacji nie można powiedzieć, że funkcja delta Diraca jest podklasą rozkładu normalnego. Wydaje mi się jednak, że jest całkiem w porządku, ponieważ powiedziałbym, że rozkład wykładniczy jest nadklasą funkcji delta Diraca.

Czy są jakieś problemy ze stwierdzeniem, że funkcja delta Diraca jest podklasą rozkładu Gaussa?

distributions normal-distribution dirac-delta

— Finn Årup Nielsen
źródło

JEŻELI delta diraca jest podklasą gaussa, to jej kurtoza musi wynosić 3, prawda?

— Aksakal

Myślę, że jeśli uważamy deltę Diraca za podklasę kilku rozkładów prawdopodobieństwa, to kurtoza jest niespójna dla delty Diraca. Przemawia przeciwko traktowaniu delty Diraca jako podklasy którejkolwiek z tych dystrybucji.

— Finn Årup Nielsen,

W kontekście prawdopodobieństwa delta jest opisana jako funkcja uogólniona. To nie jest zwykła funkcja

— Aksakal,

Odpowiedzi:

Delta Diraca jest uważana za rozkład Gaussa, gdy jest to dogodne, i nie jest tak uważana, gdy ten punkt widzenia wymaga od nas wyjątków.

Na przykład, mówi się cieszyć wielowymiarowego rozkładu Gaussa jeśli jest Gaussa zmienną losową dla wszystkich wyborów liczb rzeczywistych . (Uwaga: jest to standardowa definicja w „zaawansowanych” statystykach). Ponieważ jeden wybór jest $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\sum_i a_iX_i$ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , standardowa definicja traktuje stałą (zdegenerowaną zmienną losową) jako losową zmienną Gaussa (ze średnią i wariancją ). Z drugiej strony ignorujemy nasze uznanie delty Diraca za rozkład Gaussa, gdy rozważamy coś w rodzaju $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ $0$ $0$

„Skumulowana funkcja rozkładu prawdopodobieństwa (CDF) zero-średniej zmiennej losowej Gaussa ze standardowym odchyleniem wynosi $\sigma$ gdziejest CDF standardowej zmiennej losowej Gaussa. ”

{fa}_{X} (x) = P. {X \leq x} = Φ (\frac{x}{σ})

$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

Zauważ, że to stwierdzenie jest prawie słuszne, ale nie całkiem słuszne, jeśli uważamy deltę Diraca za ograniczający przypadek sekwencji zerowych średnich zmiennych losowych Gaussa, których odchylenie standardowe zbliża się do (a zatem jako zmienną losową Gaussa). CDF delty Diraca ma wartość dla natomiast $0$ $1$ $x \geq 0$ Jednak wiele osób powie ci, że uznanie delty Diraca za rozkład Gaussa jest czystym nonsensem, ponieważ ich książka mówi, że wariancja zmiennej losowej Gaussa musi być liczbą dodatnią ( a niektórzy z nich głosują za odrzuceniem tej odpowiedzi, aby wyrazić swoje niezadowolenie). Kilka lat temu odbyła się bardzo energiczna i pouczająca dyskusja na ten temat na temat statystyki. .

lim_{σ \to 0} Φ (\frac{x}{σ}) = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2)}, & x = 0, \\ 1, & x > 0. \end{cases}

$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$

— Dilip Sarwate
źródło

+1. Nie jestem pewien, czy istnieje problem dotyczący CDF, ponieważ uważam, że wartość graniczna sekwencji CDF przy każdym skoku limitu nie ma znaczenia. Są na to dwa sposoby. Należy zauważyć, że twoja formuła ograniczająca nie jest prawidłowym CDF (nie jest to cadlag). Innym jest zauważyć, że rozkład Diraca uzyskuje się przy

gdy jednocześnie pozwalasz

, ale możesz dążyć do uzyskania wartości granicznej

0

$0$

(μ, σ) \to (0, 0)

$(\mu,\sigma)\to(0,0)$

była dowolna między

(lub wcale nie mieć limitu).

Φ_{μ, σ} (0)

$\Phi_{\mu,\sigma}(0)$

0

$0$

1

$1$

— whuber

Rozmowa, do której się odwołujesz, miała miejsce w komentarzach do tej odpowiedzi , choć mam szczerą nadzieję, że dla większości czytelników dyskusja nie będzie wydawać się zbyt energiczna. (+1)

— kardynał

@cardinal Głęboka znajomość naszej społeczności. Dobra robota!

— Matthew Drury

Funkcje delta pasują do matematycznej teorii rozkładów (która jest całkiem odmienna od teorii rozkładów prawdopodobieństwa , terminologia tutaj nie może być bardziej myląca).

$D$ jest zdefiniowany następująco

$T$ $\theta$ $D: T \rightarrow \mathbb{R}$

Uczciwa funkcja $f$ określa rozkład przez operatora integracji

T (θ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) θ (x) d x

$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$

Istnieją dystrybucje, które nie są powiązane z prawdziwymi funkcjami, operator dirac jest jedną z nich

δ (θ) = θ (0)

$\delta(\theta) = \theta(0)$

$N_t$ $t$ $\theta$

θ (0) = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

Prawdopodobnie jest to częściej wyrażane jako

θ (0) = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x) θ (x) d x = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

$\delta(x)$ rzeczywistości nie ma żadnego sensu. Ale z drugiej strony, kim jestem , by krytykować Diraca, który jest najlepszy.

Oczywiście, czy to czyni diraca członkiem rodziny normalnych dystrybucji, jest kwestią kulturową. Podaję tylko powód, dla którego warto to rozważyć.

— Matthew Drury
źródło

Chociaż zgadzam się z pańskimi stwierdzeniami, myślę, że implikuje to coś przeciwnego. Funkcja delta nie jest podzbiorem gaussów. Podobnie jak granica funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą.

— seanv507

@ seanv507 Zrobiłem co w mojej mocy, aby nie zawrzeć żadnej konkluzji!

— Matthew Drury,

Myślałem, że rozkłady są bardzo podobne do rozkładów prawdopodobieństwa, z rozkładem delty Diraca (prawdopodobieństwa) wskazującym na zmienną deterministyczną ...

— user541686,

Jeśli nie napiszesz granic całek, mogą zostać pomylone z całkami nieoznaczonymi. Również zdanie to nie ma sensu: „Funkcja testowa θ jest funkcją prawdziwą, uczciwą wobec boga, gładką, z kompaktowym wsparciem”.

— ogogmad

@jkabrg Dlaczego to nie ma sensu? Odkąd to napisałem, trudno mi dostrzec, że to nie ma sensu.

— Matthew Drury,

-1

Nie. To nie jest podklasa normalnej dystrybucji.

Myślę, że zamieszanie wynika z jednego z przedstawień funkcji Diraca. Pamiętaj, że jest to zdefiniowane w następujący sposób:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x) re x = 1

$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$

δ (x) = 0, \forall x \neq 0

$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$

Jest zdefiniowany jako całka, co jest świetne, ale czasami trzeba operacjonalizować go za pomocą reprezentacji funkcji, a nie całki. Ludzie wymyślili różne alternatywy, jedna z nich wygląda jak gęstość Gaussa:

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{{mi}^{\frac{- x^{2)}}{2) σ^{2)}}}}{\sqrt{2) π} σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

Nie jest to jednak jedyna reprezentacja , np. Jest jedna:

δ (x) = \frac{1}{2) π} \sum_{k = - \infty}^{\infty} {mi}^{ja k x}, \forall x \in (- π, π)

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$

Dlatego najlepiej jest myśleć o funkcji Diraca w kategoriach jej integralnej definicji i przyjmować reprezentacje funkcji, takie jak Gaussian, jako narzędzia wygody.

AKTUALIZACJA Do punktu @ Whubera, jeszcze lepszym przykładem jest ta reprezentacja delty Diraca:

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{{mi}^{- \frac{| x |}{σ}}}{2) σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$

Czy to dla ciebie wygląda na rozkład Laplaciana ? Czy nie powinniśmy zatem uważać delty Diraca za podklasę rozkładu Laplaciana?

— Aksakal
źródło

W pewnym momencie tej odpowiedzi wydaje się, że przechodzisz z dyskusji na temat dystrybucji do dyskusji na temat „funkcji”. Pytanie wyraźnie odnosi się do „rozkładów prawdopodobieństwa”. Nie są one generalnie podawane przez funkcje gęstości, ale zawsze można je podać za pomocą funkcji rozkładu. Rozkład atomu - „delta Diraca” - pięknie pasuje do wszystkich innych rozkładów Gaussa jako przypadek ograniczający. (W ustawieniu Matthew Drury'ego jest on definiowany jako ten limit!) Twój argument wydaje się podobny do twierdzenia, że, powiedzmy, koła nie są elipsami. Egzekwowanie takich wyjątków nie wydaje się konstruktywne.

— whuber

@ whuber, co to jest „dystrybucja atomu”?

— Aksakal

„Atom” to bryła prawdopodobieństwa w jednym punkcie. Równolegle jest to rozkład dowolnej zmiennej losowej, który jest stały prawie wszędzie.

— whuber

@ whuber, Oh, myślałem o fizycznym atomie. Nie, chodzi mi o to, że delta Diraca nie jest podklasą Gaussa, ponieważ może być reprezentowana również przez dystlapy Laplaciana

— Aksakal

Re: Twój punkt widzenia na temat rozkładów Laplace'a. Tak jak kwadrat jest zarówno prostokątem, rombem, jak i mundurem

(0, 1)

$(0,1)$ dystrybucja jest zarówno szczególnym przypadkiem munduru

(0, θ)

$(0,\theta)$ dystrybucja i Beta

(α, β)

$(\alpha,\beta)$ dystrybucja, dystrybucja może należeć do wielu nazwanych rodzin dystrybucji. Rozkłady delta w rzeczywistości należą do każdej rodziny w skali lokalizacji, a co najmniej jeden rozkład delty należy do każdej rodziny w skali. Geometrycznie rodziny są krzywymi w przestrzeni rozkładów; dany rozkład jest punktem; i (oczywiście) dowolny punkt może należeć do wielu krzywych.

— whuber