Okazuje się, że Econometrica artykuł Kenneth Małych i Harvey Rosen pokazał to w 1981 roku, ale w bardzo specyficzny kontekst więc wynik wymaga dużo kopania, nie wspominając niektóre szkolenia w dziedzinie ekonomii. Postanowiłem to udowodnić w sposób, który uważam za bardziej dostępny.
Dowód : Niech będzie liczbą alternatyw. W zależności od wartości wektora , funkcja przyjmuje różne wartości. Najpierw skup się na wartościach takich jak . Oznacza to, że zintegrujemy z zestawem :Jϵ={ϵ1,...,ϵJ}maxi(δi+ϵi)ϵmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1≡{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j≠1}
Eϵ∈M1[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[∫δ1+ϵ1−δ2−∞...∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(∫δ1+ϵ1−δ2−∞f(ϵ2)dϵ2)...(∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵJ)dϵJ)dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1−δ2)...F(δ1+ϵ1−δJ)dϵ1
Powyższy termin jest pierwszym z takich terminów w . Konkretnie,JE[maxi(δi+ϵi)]
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iEϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)].
Teraz stosujemy funkcjonalną formę rozkładu Gumbela. To daje
===Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵie−eμ−ϵi∏j≠ie−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵi∏je−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{∑j−eμ−ϵi+δj−δi}dϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{−eμ−ϵi∑jeδj−δi}dϵi
gdzie drugi krok polega na zebraniu jednego z wyrażeń potęgowanych do produktu, wraz z faktem, że jeśli .δj−δi=0i=j
Teraz zdefiniujemy i podstawienia , aby i . Zauważ, że gdy zbliża się do nieskończoności, zbliża się do 0, a gdy zbliża się do nieskończoności, zbliża się do nieskończoności. Di≡∑jeδj−δix=Dieμ−ϵidx=−Dieμ−ϵidϵi⇒−dxDi=eμ−ϵidϵiϵi=μ−log(xDi)ϵixϵix
==Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫0∞(δi+μ−log[xDi])(−1Di)exp{−x}dx1Di∫∞0(δi+μ−log[xDi])e−xdxδi+μDi∫∞0e−xdx−1Di∫∞0log[x]e−xdx+log[Di]Di∫∞0e−xdx
Funkcja Gamma jest zdefiniowana jako . Dla wartości które są dodatnimi liczbami całkowitymi, jest to równoważne, więc . Ponadto wiadomo, że stała Eulera – Mascheroniego, spełniaΓ(t)=∫∞0xt−1e−xdxtΓ(t)=(t−1)!Γ(1)=0!=1γ≈0.57722
γ=−∫∞0log[x]e−xdx.
Zastosowanie tych faktów daje
Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di
Następnie sumujemy ponad aby uzyskaći
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iδi+μ+γ+log[Di]Di
Przypomnij sobie, że . Zauważ, że znane prawdopodobieństwa wyboru są odwrotnością , lub innymi słowy . Zauważ też, że . Następnie mamyDi=∑jeδj−δi=∑jeδjeδiPi=eδi∑jδjDiPi=1/Di∑iPi=1
E[maxi(δi+ϵi)]======∑iPi(δi+μ+γ+log[Di])(μ+γ)∑iPi+∑iPiδi+∑iPilog[Di]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδjeδi]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδj]−∑iPilog[eδi]μ+γ+∑iPiδi+log[∑jeδj]∑iPi−∑iPiδiμ+γ+log[∑jexp{δj}].
QED