Losowe nakładające się interwały

Jak znaleźć wyrażenie analityczne w następującym problemie? $D(n,l,L)$

Losowo upuszczam „słupków” o długości do przedziału . „Słupki” mogą się nakładać. Chciałbym znaleźć średnią całkowitą długość przedziału zajmowanego przez co najmniej jeden „słupek”. $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

W granicy „niskiej gęstości” nakładanie się powinno być pomijalne, a . W „o wysokiej gęstości” limitu zbliża . Ale jak mogę uzyskać ogólne wyrażenie dla ? To powinien być dość podstawowy problem statystyczny, ale nie mogłem znaleźć wyjaśnienia na forach. $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

Każda pomoc byłaby bardzo mile widziana.

Zauważ, że paski są upuszczane naprawdę losowo (statystycznie niezależne) od siebie.

probability distributions

— Daniel
źródło

Czy to pytanie z kursu lub podręcznika? Jeśli tak, dodaj [self-study]tag i przeczytaj jego wiki .

— gung - Przywróć Monikę

Nie, nie jest. możesz łatwo obliczyć średnią zajętą długość za pomocą komputera, próbkując, ale problem wydaje się fundamentalny, że musi istnieć teoretyczne podejście do jego rozwiązania. Ponieważ wszystkie moje próby się nie udały, byłem tylko ciekawy, jak to zrobić.

— Daniel

Jaki jest twój model, w jaki sposób „upuszczane” są pręty na [0, L]? Czy mogą wystawać na krawędzie? Edycja: twój rysunek i odpowiedź sugerują, że tak jest.

— Adrian

Znajdź prawdopodobieństwa , że dana NIE są uwzględnione - co jest skrzyżowanie IID wydarzenia. Zatem oczekiwana długość nieosłoniętej części wynosi po prostu .

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

— AS

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

Prawdopodobieństwo punktu w przez pojedynczy upuszczony pręt wynosi $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$ .

Odpowiednio prawdopodobieństwo bycia pustym wynosi . Prawdopodobieństwo, że dany punkt jest nadal pusty po upuszczonych słupkach, to , a zajęcie to $P_{e} = 1 - P_o$ $n$ $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

dla dużych . $n$

Następnie średnia zajmowana długość w po losowych „kroplach” wynosi $[x_0,x_0 + L]$ $n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$ .

— Daniel
źródło

Jesteś na dobrej drodze, ale są pewne oznaki, że konieczna może być większa ostrożność. Być może najważniejsze dotyczy faktu, że zdarzenia związane z dowolnymi dwoma punktami nie są niezależne: co zatem uzasadnia pomnożenie prawdopodobieństw? Uważam również, że twoje wyrażenie na jest nieprawidłowe. Rozważmy na przykład przypadek, w którym . Z rysunku wynika, że zakładasz, że lewy punkt końcowy paska ma równomierny rozkład w przedziale . W związku z tym szansa na pokrycie wynosi , co nie jest równe .

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$

1 / 2

$1/2$

l / L = 1

$l/L=1$

— whuber

Dzięki za podpowiedzi. Masz rację, powinienem był napisać, że pomiędzy losowymi „rysunkami” powinna istnieć zerowa korelacja. I masz również rację, powyższe rozwiązanie jest ważne tylko wtedy, gdy słupki nie mogą wystawać. Jak można rozwiązać problem, jeśli pozwolimy im się trzymać?

— Daniel

Chodzi mi o to, że nawet gdy słupki są upuszczane losowo i niezależnie , dla każdego zdarzenia „ten słupek pokrywa punkt ” i „ten sam słupek pokrywa punkt ” są silnie współzależne. W szczególności, jeśli , nie mogą wystąpić jednocześnie. Jednym ze sposobów rygorystycznego traktowania tego jest powiązanie prawdopodobieństwa z oczekiwaniami.

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

— whuber

Rozważyłem teraz efekty graniczne. Rozumiem, że zajęcie dwóch różnych punktów w przedziale jest skorelowane, ale nie widzę, jak wpłynęłoby to na rozwiązanie.

— Daniel