Czy hipotezy zerowe i alternatywne muszą być wyczerpujące, czy nie?

Wiele razy widziałem, że muszą one być wyczerpujące (przykłady w takich książkach zawsze były ustawione w taki sposób, że rzeczywiście były), z drugiej strony widziałem też wiele razy, w których książki powinny być wyjątkowe ( na przykład as i as ) bez wyjaśnienia wyczerpującego problemu. Dopiero przed wpisaniem tego pytania znalazłem nieco mocniejsze stwierdzenie na stronie Wikipedii - „Alternatywą nie musi być logiczna negacja hipotezy zerowej”. $\mathrm{H}_{0}$ $\mu_1=\mu_2$ $\mathrm{H}_{1}$ $\mu_1>\mu_2$

Czy ktoś bardziej doświadczony mógłby wyjaśnić, co jest prawdą, i byłbym wdzięczny, gdyby rzucił nieco światła na (historyczne?) Przyczyny takiej różnicy (w końcu książki zostały napisane przez statystyków, tj. Naukowców, a nie filozofów).

hypothesis-testing

— Greenoldman
źródło

Odpowiedzi:

Zasadniczo hipotezy nie są wyczerpujące. Jeśli test dotyczy parametru gdzie jest ograniczeniem , alternatywny może mieć dowolną formę o ile $\theta$ $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $H_a$ $\theta\in\Theta_a$

Θ_{0} \cap Θ_{a} = \emptyset .

$\Theta_0\cap\Theta_a=\emptyset.$

Przykładem tego, dlaczego wyczerpanie nie ma większego sensu, jest porównanie dwóch rodzin modeli, porównaniu do . W takim przypadku wyczerpanie jest niemożliwe, ponieważ alternatywa musiałaby wówczas obejmować wszystkie możliwe modele prawdopodobieństwa. $H_0:\ x\sim f_0(x|\theta_0)$ $H_a:\ x\sim f_1(x|\theta_1)$

— Xi'an
źródło

Dziękujemy, czy przypadkiem wiesz, dlaczego tak często widzi się wymóg wyczerpania? Oprócz prostego nieporozumienia, ponieważ byłoby to jedno z najczęstszych nieporozumień :-).

— greenoldman

Nie rozumiem tego przykładu. Kiedy porównujesz dwie rodziny modeli, i między nimi wydają się wyczerpywać każdy możliwy model w rodzinie. Jeśli zezwolisz zerowej i alternatywnej opcji, aby nie obejmowała każdego takiego modelu, komplikujesz proces oceny ryzyka teoretycznego testu (zarówno w teorii, jak i w praktyce).

H_{0}

$H_0$

H_{a}

$H_a$

— whuber

@ whuber: źle odczytałeś mój przykład. Jak napisano powyżej, alternatywna składa się z dobrze zdefiniowanej rodziny modeli, gdzie obejmuje cały zestaw możliwych wartości, a nie składa się ze wszystkich możliwych modeli prawdopodobieństwa. Nie jest to zatem wyczerpujące. Jest to krytyka skierowana przeciwko bayesowskiemu podejściu do testowania, patrz na przykład filozof nauki, Deborah Mayo, w Error and Inference

H_{a}

$H_a$

θ_{1}

$\theta_1$

— Xi'an

Myślę, że czytam twój przykład poprawnie, Xi'an, ale najwyraźniej mam problemy z tym, co masz na myśli mówiąc „wyczerpujący”. Jego użycie w odpowiedzi i komentarzach wydaje się oznaczać „obejmuje wszystkie rozkłady prawdopodobieństwa”, ale w większości przypadków testowania hipotez nie ma to znaczenia. W obecnej sytuacji „wyczerpujący” musi oznaczać „obejmujący wszystkie rozkłady zawarte w modelu” (takie jak wszystkie rozkłady normalne dla testu normalnej teorii).

— whuber

Głównym powodem, dla którego widzisz wymóg, aby hipotezy były wyczerpujące, jest problem tego, co się stanie, jeśli prawdziwa wartość parametru znajduje się w regionie, który nie jest objęty hipotezą zerową ani alternatywną. Następnie testowanie na poziomie ufności staje się bez znaczenia, a może gorzej, twój test będzie tendencyjny na korzyść wartości zerowej - np. Jednostronny test postaci vs. , kiedy faktycznie . $\alpha %$ $\theta = 0$ $\theta > 0$ $\theta < 0$

Przykład: jednostronny test dla vs z rozkładu normalnego ze znanym i true . Przy próbce o wielkości 100 test 95% odrzuciłby, jeśli , ale 0,1645 to faktycznie 2,645 odchylenia standardowego powyżej prawdziwej średniej, co prowadzi do rzeczywistego poziomu testu około 99,6%. $\mu = 0$ $\mu > 0$ $\sigma = 1$ $\mu = -0.1$ $\bar{x} > 0.1645$

Poza tym wykluczasz możliwość zaskoczenia i uczenia się czegoś ciekawego.

Można jednak spojrzeć na to jako na definiowanie przestrzeni parametrów jako podzbioru tego, co zwykle można uznać za przestrzeń parametrów, np. Średnia rozkładu normalnego jest często uważana za leżącą gdzieś na linii rzeczywistej, ale jeśli tak jest test jednostronny, w efekcie definiujemy przestrzeń parametrów, która ma być częścią linii objętej zerą i alternatywą.

— łucznik
źródło

Dziękuję, popełniłeś jednak błąd w sformułowaniu, nie wyłączny, ale wyczerpujący (pierwsza linia).

— greenoldman

Koncepcyjnie, jednostronny test jest tak naprawdę testem w postaci vs. zamiast vs. . W elementarnych ekspozycjach, szczególnie tych widocznych w Internecie, rozróżnienie to zostało nadpisane, ale jest ono starannie i właściwie obsługiwane w literaturze statystycznej i dobrych podręcznikach. Dlatego nie ograniczamy przestrzeni parametrów.

H_{0} : θ \leq 0

$H_0: \theta \le 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

H_{0} : θ = 0

$H_0: \theta = 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

— whuber

whuber - oczywiście masz rację co do testu jednostronnego. Próbowałem, choć nieudolnie, opisać, co mogłoby się stać, gdyby hipotezy nie były w rzeczywistości wyczerpujące, co w tym przypadku nastąpiłoby, gdyby zero było . Jeśli naprawdę chcemy trzymać się punktu zero i jednostronnej alternatywy i mieć wyczerpujące hipotezy, wydaje mi się, że musimy przedefiniować przestrzeń parametrów jak wyżej.

θ = 0

$\theta = 0$

— jbowman

Naprawdę @ whuber? Hipoteza zerowa w teście jednostronnym jest nierównością obejmującą niesprawdzony ogon? To ma dla mnie o wiele większy sens! Ale jak mówisz, zostało to przedstawione na moim kursie jako równość punktowa. Dziękuję za wyjaśnienie.

— James