W jaki sposób powiązane są funkcje błędu i standardowa rozkład normalny?

Jeśli standardowym normalnym plikiem PDF jest

fa (x) = \frac{1}{\sqrt{2) π}} {mi}^{- x^{2)} / 2)}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

a CDF to

fa (x) = \frac{1}{\sqrt{2) π}} \int_{- \infty}^{x} {mi}^{- x^{2)} / 2)} re x,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

jak to zmienia się w funkcję błędu ? $z$

normal-distribution cdf

— TH4454
źródło

johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf

— Mark L. Stone,

Widziałem to, ale zaczyna się od zdefiniowanego już ERF.

— TH4454,

Cóż, istnieje definicja erf i definicja normalnego CDF. Relacje, które można uzyskać na podstawie rutynowych obliczeń, pokazują, jak konwertować między nimi i jak konwertować między ich odwrotnościami.

— Mark L. Stone,

Przepraszam, nie widzę wielu szczegółów. Na przykład CDF ma wartość od -Inf do x. Jak więc ERF zmienia się z 0 na x?

— TH4454

Czy znasz rachunkową technikę zmiany zmiennej? Jeśli nie, dowiedz się, jak to zrobić.

— Mark L. Stone,

Ponieważ pojawia się to często w niektórych systemach (na przykład Mathematica nalega na wyrażenie Normal CDF w kategoriach ), dobrze jest mieć taki wątek, który dokumentuje związek. $\text{Erf}$

Z definicji funkcją błędu jest

Erf (x) = \frac{2)}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} {mi}^{- t^{2)}} re t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

Zapis 2/2 implikuje (ponieważ nie jest ujemny), skąd . Końce i się i . Aby przekonwertować wynikową całkę na coś, co wygląda jak funkcja rozkładu skumulowanego (CDF), należy ją wyrazić w postaci całek, które mają dolne granice , a zatem: $t^2 = z^2/2$ $t = z / \sqrt{2}$ $t$ $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

Erf (x) = \frac{2)}{\sqrt{2) π}} \int_{0}^{x \sqrt{2)}} {mi}^{- z^{2)} / 2)} re z = 2) (\frac{1}{\sqrt{2) π}} \int_{- \infty}^{x \sqrt{2)}} {mi}^{- z^{2)} / 2)} re z - \frac{1}{\sqrt{2) π}} \int_{- \infty}^{0} {mi}^{- z^{2)} / 2)} re z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

Te całki wielkości prawej ręki są wartościami CDF standardowego rozkładu normalnego,

Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2) π}} \int_{- \infty}^{x} {mi}^{- z^{2)} / 2)} re z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

Konkretnie,

Erf (x) = 2) (Φ (x \sqrt{2)}) - Φ (0)) = 2) (Φ (x \sqrt{2)}) - \frac{1}{2)}) = 2) Φ (x \sqrt{2)}) - 1.

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

To pokazuje, jak wyrazić funkcję błędu w kategoriach normalnego CDF. Algebraiczna manipulacja tym z łatwością daje Normal CDF pod względem funkcji błędu:

Φ (x) = \frac{1 + Erf (x / \sqrt{2)})}{2)} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

Zależność ta (w każdym razie dla liczb rzeczywistych) jest pokazana na wykresach dwóch funkcji. Wykresy są identycznymi krzywymi. Współrzędne funkcji błędu po lewej stronie są konwertowane na współrzędne po prawej stronie przez pomnożenie współrzędnych przez , dodanie do współrzędnych , a następnie podzielenie współrzędnych przez , odzwierciedlając związek $\Phi$ $x$ $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (x \sqrt{2)}) = \frac{Erf (x) + 1}{2)}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

w którym notacja wyraźnie pokazuje te trzy operacje mnożenia, dodawania i dzielenia.

— Whuber
źródło

Myślę, że to właściwy sposób ich powiązania, biorąc pod uwagę średnią i odchylenie standardowe.

Φ (x, μ, σ) = \frac{1}{2)} (1 + Erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2)}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$

— Foad