Rozkład stosunku między dwiema niezależnymi jednolitymi zmiennymi losowymi

17

Supppse i są standardowo równomiernie rozmieszczone w i są niezależne, jaki jest plik PDF ? $X$ $Y$ $[0, 1]$ $Z = Y / X$

Odpowiedź z jakiegoś podręcznika teorii prawdopodobieństwa brzmi

f_{Z} (z) = {\begin{cases} 1 / 2, & if 0 \leq z \leq 1 \\ 1 / (2 z^{2}), & if z > 1 \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$f_Z(z) = \begin{cases} 1/2, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ 1/(2z^2), & \text{if } z > 1 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

Zastanawiam się, symetrycznie, czy ? W powyższym pliku PDF tak nie jest. $f_Z(1/2) = f_Z(2)$

probability derived-distributions

— co było do okazania
źródło

Jaka jest domena i ?

X

$X$

Y

$Y$

— Sobi,

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

— kjetil b halvorsen

2

Dlaczego miałbyś oczekiwać, że to prawda? Funkcja gęstości mówi ci, jak ciasno upakowane jest prawdopodobieństwo w sąsiedztwie punktu, i wyraźnie trudniej jest być blisko niż (weź na przykład, że zawsze może wynosić bez względu na jest, ale gdy

).

Z

$Z$

2

$2$

1 / 2

$1/2$

Z

$Z$

1 / 2

$1/2$

X

$X$

Z < 2

$Z < 2$

X > 1 / 2

$X > 1/2$

— dsaxton,

2

Możliwy duplikat rozkładu stosunku mundurów: co jest nie tak?

— Xi'an

3

Nie sądzę, że to duplikat, to pytanie szuka pliku PDF, tutaj mam plik PDF, po prostu kwestionuję jego poprawność (być może raczej naiwnie).

— qed

19

Prawidłowa logika jest taka, że przy niezależnych , i mają taki sam rozkład, a więc dla gdzie równanie z CDF wykorzystuje fakt, że jest ciągłą zmienną losową, a więc . Stąd pdf spełnia Zatem $X, Y \sim U(0,1)$ $Z=\frac YX$ $Z^{-1} =\frac XY$ $0 < z < 1$

\begin{aligned} P {\frac{Y}{X} \leq z} & = P {\frac{X}{Y} \leq z} \\ = P {\frac{Y}{X} \geq \frac{1}{z}} \\ F_{Z} (z) & = 1 - F_{Z} (\frac{1}{z}) \end{aligned}

$\begin{align} P\left\{\frac YX \leq z\right\} &= P\left\{\frac XY \leq z\right\}\\ &= P\left\{\frac YX \geq \frac 1z \right\}\\ \left.\left.F_{Z}\right(z\right) &= 1 - F_{Z}\left(\frac 1z\right) \end{align}$

\frac{Y}{X}

$\frac YX$

P {Z \geq a} = P {Z > a} = 1 - F_{Z} (a)

$P\{Z \geq a\} = P\{Z > a\} = 1-F_Z(a)$

Z

$Z$

f_{Z} (z) = z^{- 2} f_{Z} (z^{- 1}), 0 < z < 1.

$f_Z(z) = z^{-2}f_Z(z^{-1}), \quad 0 < z < 1.$

f_{Z} (\frac{1}{2}) = 4 f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = 4f_Z(2)$ , a nie jak myślałeś, że powinno być.

f_{Z} (\frac{1}{2}) = f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = f_Z(2)$

— Dilip Sarwate
źródło

14

Ta dystrybucja jest symetryczna - jeśli spojrzysz na nią we właściwy sposób.

Symetria, którą zaobserwowałeś (poprawnie), jest taka, że i muszą być identycznie rozłożone. Pracując ze stosunkami i mocami, naprawdę pracujesz w multiplikatywnej grupie dodatnich liczb rzeczywistych. Analog położenia niezmiennego środka NA addytywnych liczb rzeczywistych jest skala niezmienna środek na przykład multiplikatywna grupa pozytywnej rzeczywistym liczby. Ma te pożądane właściwości: $Y/X$ $X/Y = 1/(Y/X)$ $d\lambda=dx$ $\mathbb{R}$ $d\mu = dx/x$ $\mathbb{R}^{*}$

$d\mu$ jest niezmienne w transformacji dla dowolnej dodatniej stałej : $x\to ax$ $a$
$d μ (a x) = \frac{d (a x)}{a x} = \frac{d x}{x} = d μ .$ $d\mu(ax) = \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} = d\mu.$
$d\mu$ jest kowariantem przy przekształceniu dla liczb niezerowych : $x\to x^b$ $b$
$d μ (x^{b}) = \frac{d (x^{b})}{x^{b}} = \frac{b x^{b - 1} d x}{x^{b}} = b \frac{d x}{x} = b d μ .$ $d\mu(x^b) = \frac{d(x^b)}{x^b} = \frac{b x^{b-1} dx}{x^b} = b\frac{dx}{x} = b\, d\mu.$
$d\mu$ przekształca się w przez wykładniczy: Podobnie jest przekształcana z powrotem do przez logarytm. $d\lambda$
$d μ (e^{x}) = \frac{d e^{x}}{e^{x}} = \frac{e^{x} d x}{e^{x}} = d x = d λ .$ $d\mu(e^x) = \frac{de^x}{e^x} = \frac{e^x dx}{e^x} = dx = d\lambda.$ $d\lambda$ $d\mu$

(3) ustala izomorfizm między mierzonymi grupami i . Odbicie w przestrzeni addytywnej odpowiada inwersji w przestrzeni multiplikatywnej, ponieważ . $(\mathbb{R}, +, d\lambda)$ $(\mathbb{R}^{*}, *, d\mu)$ $x \to -x$ $x \to 1/x$ $e^{-x} = 1/e^x$

Zastosujmy te obserwacje, pisząc element prawdopodobieństwa w kategoriach (domyślnie rozumiejąc, że ) zamiast : $Z=Y/X$ $d\mu$ $z \gt 0$ $d\lambda$

f_{Z} (z) d z = g_{Z} (z) d μ = \frac{1}{2} {\begin{cases} 1 d z = z d μ, & if 0 \leq z \leq 1 \\ \frac{1}{z^{2}} d z = \frac{1}{z} d μ, & if z > 1. \end{cases}

$f_Z(z)\,dz = g_Z(z)\,d\mu = \frac{1}{2}\begin{cases} 1\,dz = z\, d\mu, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ \frac{1}{z^2}dz = \frac{1}{z}\, d\mu, & \text{if } z > 1. \end{cases}$

Oznacza to, że plik PDF w odniesieniu do niezmiennej miary $d\mu$ jest , proporcjonalny do gdy i do gdy , blisko tego, czego się spodziewałeś. $g_Z(z)$ $z$ $0\lt z \le 1$ $1/z$ $1 \le z$

To nie jest jednorazowa sztuczka. Zrozumienie roli sprawia, że wiele formuł wygląda na prostszych i bardziej naturalnych. Na przykład element prawdopodobieństwa funkcji Gamma z parametrem , staje się . Łatwiej jest pracować z niż z podczas przekształcania przez przeskalowanie, przejęcie mocy lub potęgowanie. $d\mu$ $k$ $x^{k-1}e^x\,dx$ $x^k e^x d\mu$ $d\mu$ $d\lambda$ $x$

Idea niezmiennej miary w grupie jest również znacznie bardziej ogólna i ma zastosowanie w tej dziedzinie statystyki, w której problemy wykazują pewną niezmienność w grupach transformacji (takich jak zmiany jednostek miar, obroty w wyższych wymiarach itp. ).

— Whuber
źródło

3

Wygląda na bardzo wnikliwą odpowiedź. Szkoda, że w tej chwili tego nie rozumiem. Sprawdzę później.

— qed

4

Jeśli myślisz geometrycznie ...

W płaszczyźnie - krzywe stałej są liniami przechodzącymi przez początek. ( to nachylenie.) Wartość można odczytać z linii przechodzącej przez początek, znajdując jej przecięcie z linią . (Jeśli kiedykolwiek studiowałeś przestrzeń rzutową: tutaj jest zmienną homogenizującą, więc spojrzenie na wartości na wycinku jest względnie naturalne.) $X$ $Y$ $Z = Y/X$ $Y/X$ $Z$ $X=1$ $X$ $X=1$

Rozważ mały przedział , . Ten przedział można również omówić na linii jako odcinek linii od do . Zbiór linii przechodzących przez początek przechodzących przez ten przedział tworzy bryłę trójkąta w kwadracie , czyli regionem, który naprawdę nas interesuje Jeśli , to obszar trójkąta to , więc utrzymując długość przedziału na stałym poziomie i przesuwając go w górę i w dół linia (ale nie za lub $Z$ $(a,b)$ $X=1$ $(1,a)$ $(1,b)$ $(X,Y) \in U = [0,1]\times[0,1]$ $0 \leq a < b \leq 1$ $\frac{1}{2}(1-0)(b-a)$ $X=1$ $0$ $1$ ), obszar jest taki sam, więc prawdopodobieństwo wybrania w trójkącie jest stałe, więc prawdopodobieństwo wybrania w przedziale jest stałe. $(X,Y)$ $Z$

Jednak dla granica obszaru odwraca się od linii a trójkąt jest obcinany. Jeśli , rzuty w dół linii przez początek od i do górnej granicy są do punktów i . Powstały obszar trójkąta to . Z tego wynika, że obszar nie jest jednolity, a gdy przesuwamy coraz bardziej w prawo, prawdopodobieństwo wyboru punktu w trójkącie maleje do zera. $b>1$ $U$ $X = 1$ $1 \leq a < b$ $(1,a)$ $(1,b)$ $U$ $(1/a,1)$ $(1/b,1)$ $\frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(1-0)$ $(a,b)$

Następnie ta sama algebra pokazana w innych odpowiedziach kończy problem. W szczególności, wracając do ostatniego pytania OP, odpowiada linii, która osiąga , ale nie, więc pożądana symetria nie zachowuje się. $f_Z(1/2)$ $X=1$ $f_Z(2)$

— Eric Towers
źródło

3

Dla przypomnienia, moja intuicja była całkowicie błędna. Mówimy o gęstości , a nie o prawdopodobieństwie . Właściwą logiką jest sprawdzenie tego

\int_{1}^{k} f_{Z} (z) d z = \int_{1 / k}^{1} f_{Z} (z) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{k})

$\int_1^k f_Z(z) dz = \int_{1/k}^1 f_Z(z) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{k})$ ,

i tak właśnie jest.

— co było do okazania
źródło

1

Tak, link Rozkład proporcji mundurów: co jest nie tak? zapewnia CDF . PDF tutaj jest tylko pochodną CDF. Tak więc formuła jest poprawna. Myślę, że twój problem polega na założeniu, że uważasz, że Z jest „symetryczne” wokół 1. Jednak to nie jest prawda. Intuicyjnie Z powinien być rozkładem ukośnym, na przykład warto pomyśleć, kiedy Y jest stałą liczbą między a X jest liczbą bliską 0, a zatem stosunek będzie zbliżony do nieskończoności. Zatem symetria rozkładu nie jest prawdziwa. Mam nadzieję, że ta pomoc trochę. $Z=Y/X$ $(0,1)$

— lzstat
źródło