Przekształcanie statystyk zamówień

Załóżmy, że zmienne losowe i są niezależne i przez . Pokaż, że ma dystrybucja . $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

Zacząłem ten problem, ustawiając $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ Następnie $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ będzie rozpowszechniany jako $(\frac{z}{a})^{2n}$ a $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ będzie dystrybuowany jako $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ Gęstości można łatwo znaleźć jako $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ i $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

To jest miejsce, w którym trudno mi teraz wiedzieć, gdzie teraz iść, skoro są one obliczone. Myślę, że to ma coś wspólnego z transformacją, ale nie jestem pewien ...

self-study data-transformation order-statistics

— Susan
źródło

Z pewnością należy dodatkowo założyć, że nie tylko

X_{i}

$X_i$ i

Y_{i}

$Y_i$ id, ale także

X_{i}

$X_i$ są niezależne od

Y_{j}

$Y_j$ . Biorąc to pod uwagę, czy myślałeś o bezpośredniej pracy z

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ ?

— whuber

@ gdy moją myślą z twojego komentarza byłoby skonfigurowanie transformacji, w której rozwiązuję gęstość n * log (Z

_{i}

$_i$ )?

— Susan,

Zrobiłem trochę formatowania (szczególnie zmieniając i na i ), ale jeśli ci się nie podoba, możesz przywrócić poprzednią wersję (klikając link „edytowano <x> temu” nad moim gravatar na dole Twojego posta), a następnie klikając link „wycofaj” powyżej poprzedniej wersji.

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

— Glen_b

Susan, wydajesz się źle interpretować / błędnie odczytać pytanie. Pytanie poszukuje stosunku Mianownik odnosi się do : gdzie to statystyka maksymalnego rzędu , a to statystyka maksymalnego rzędu s. Innymi słowy, szuka min (maxX, maxY), NIE minimum wszystkich i , więc nie możesz użyć swojej sztuczki Z spłaszczyć / połączyć wszystkie wartości X i Y. .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

— wilki,

W każdym razie, i jako odrębna sprawa, nie ma sensu (jak już to zrobiłeś) obliczanie gęstości , a osobno gęstości , ponieważ statystyki różnych rzędów nie są ogólnie niezależny. Aby znaleźć stosunek , trzeba najpierw znaleźć wspólny plik pdf , jeśli to był problem pod ręką (co nie jest).

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

— wilki,

Odpowiedzi:

Problem ten można rozwiązać na podstawie samych definicji: jedynym zaawansowanym obliczeniem jest całka monomialu.

Uwagi wstępne

Pracujmy ze zmiennymi i przez cały czas: to nie zmienia ale powoduje iid z rozkładami Uniform , eliminując wszystkie rozpraszające spojrzenia w obliczeniach. Zatem możemy założyć bez utraty ogólności. $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

Zauważ, że niezależność i ich równomierny rozkład implikuje, że dla dowolnej liczby dla której , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

z identycznym wynikiem dla . W przyszłości możemy to obliczyć $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

Rozwiązanie

Niech będzie dodatnią liczbą rzeczywistą. Aby znaleźć rozkład , jego definicję i uprość wynikową nierówność: $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Par (\exp (Z_{n} / n) > {mi}^{t / n}) \\ = Par (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > {mi}^{t / n}) \\ = Par ({mi}^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

To zdarzenie dzieli się na dwa możliwe do uzasadnienia przypadki, w zależności od tego, czy czy jest mniejszy z tych dwóch (a ich przecięcie, z zerowym prawdopodobieństwem, można zignorować). Dlatego musimy tylko obliczyć szansę jednego z tych przypadków (powiedzmy, gdzie jest mniejsza) i podwoić ją. Ponieważ , , pozwala nam (po pozwoleniu na odegranie roli od ) do zastosowania obliczeń w trybie paragrafu: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Par (Z_{n} > t) = 2) Par ({mi}^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2) mi [{({mi}^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = {mi}^{- t} mi [2) X_{(n)}^{n}] = {mi}^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

To oznacza, że ma rozkład Exp . $Z_n$ $(1)$

— Whuber
źródło

Naszkicuję rozwiązanie tutaj, używając komputerowego systemu algebry, aby wykonać drobiazgi ...

Rozwiązanie

Jeśli jest próbką o rozmiarze na macierzystym , to pdf próbki maksymalnej to: i podobnie dla . $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

{fa}_{n} (x) = \frac{n}{{za}^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

Podejście 1: Znajdź wspólny plik pdf $(X_{(n)},Y_{(n)})$

Ponieważ i są niezależne, łączny pdf dwóch maksymalnych próbek jest po prostu iloczynem 2 pdf, powiedzmy : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

Biorąc pod uwagę . Zatem cdf dla to to: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

gdzie używam Probfunkcji z pakietu mathStatica dla Mathematica do automatyzacji. Różnicowanie cdf wrt daje pdf jako standardowy wykładniczy. $z$ $Z_n$

Podejście 2: Statystyka zamówień

Możemy użyć statystyki zamówień, aby ominąć mechanikę radzenia sobie z funkcjami Max i Min.

Jeszcze raz: jeśli jest próbką o rozmiarze na macierzystym , to pdf próbki maksymalnej to: powiedzmy : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

Przykładowe maksima i to tylko dwa niezależne rysunki z tego rozkładu ; tj. statystyki rzędu i (w próbce o rozmiarze 2) są właśnie tym, czego szukamy: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

Łączny plik pdf w próbce o rozmiarze 2, powiedzmy , To: $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

Biorąc pod uwagę . Zatem cdf dla to to: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

Zaletą tego podejścia jest to, że obliczanie prawdopodobieństwa nie obejmuje już funkcji maks./min., Co może sprawić, że wyprowadzenie (szczególnie ręczne) będzie nieco łatwiejsze do wyrażenia.

Inny

Zgodnie z moim komentarzem powyżej wydaje się, że źle zinterpretowałeś pytanie ...

Jesteśmy proszeni o znalezienie:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

gdzie w mianowniku występuje min (Xmax ymax) ... nie obowiązkowych wszystkich „S i ” S. $X$ $Y$

— wilki
źródło

Po twoim szkicu rozumiem, jak źle zinterpretowałem pytanie. Rozumiem, jak obliczyć łączny pdf dwóch maksymalnych próbek, ale wciąż nie jestem pewien, jak interpretować stosunek maks./min.

— Susan,

Dodałem alternatywne wyprowadzenie za pomocą statystyk zamówień, które „omijają” maks / min.

— wilki,

Gdybyś zaczął od dzienników danych, Susan, wtedy spojrzałbyś na różnice w statystykach zamówień, a nie na stosunki .

— whuber

Nie jestem przekonany, aby komputerowe obliczenia formalne były najlepszym sposobem wyjaśnienia powodu, dla którego stosunek ten jest losową zmienną Exp (1).

— Xi'an,

Dobra uwaga ... oprócz tego, że OP nie pyta o powód ... ale aby pokazać, że jest to Exp [1]. Nie jestem również pewien, czy jest to praca domowa (lub zadanie) ... i to w rzeczywistości jedna miła zaleta korzystania z komputera: ktoś podaje kroki, które należy wykonać, weryfikuje wynik, aby mieć właściwe podejście , ale mechanika wciąż pozostaje w gestii OP. Byłoby miło, gdyby ktoś zapoznał się z sugestią @ Whubera dotyczącą zapisywania dzienników na początku.

— wilki,