Jeśli oraz , to czy ?

9

To nie jest praca domowa.

Niech $X$ będzie zmienną losową. Jeśli $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ i $\text{Var}[X] = 0$ , czy wynika z tego, że $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

Intuicyjnie wydaje się to oczywiste, ale nie jestem pewien, jak to udowodnię. Wiem na pewno, że z założeń wynika, że $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . Więc

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ Wydaje się, że nigdzie mnie to nie prowadzi. Mógłbym spróbować

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ Teraz od

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , wynika z tego, że

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ .

Ale jeśli miałbym użyć równości,

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ to mój instynkt żołądkowy jest taki, że

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , więc

X \equiv k

$X \equiv k$ .

Skąd mam to wiedzieć? Przypuszczam, że jest to dowód sprzeczności.

Jeżeli przeciwnie, $X \neq k$ dla każdego $X$ , a następnie $(X-k)^2 > 0$ i $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ dla wszystkich $X$ . Mamy sprzeczność, więc $X \equiv k$ .

Czy mój dowód jest słuszny - a jeśli tak, to czy istnieje lepszy sposób na potwierdzenie tego twierdzenia?

probability

— Klarnecista
źródło

@ user777 Próbowałem tej metody pierwotnie (jak widać w moim Równanie ), ale nie byłem pewien, jak postępować.

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Klarnecista

3

Wierzę, że Nierówność Czebyszewa natychmiast odpowiada na to pytanie.

— whuber

@whuber: przynajmniej oświadczenie Wikipedii o nierówności Czebyszewa wyraźnie wymaga niezerowej wariancji. Naprawdę nie wiem, czy potrzebujemy jakiegoś elementarnego dowodu dla przypadku zerowej wariancji ...

— Stephan Kolassa

1

@Stephan Możesz łatwo mieszać dowolne niedegenerowane rozkłady z zakresem i zastosować nierówność, aby pokazać, że dla wszystkich i wszystkie .

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

Oto teoretyczny dowód miary uzupełniający pozostałe, wykorzystujący tylko definicje. Pracujemy na przestrzeni prawdopodobieństwa . Zauważ, że i rozważ całkę . Załóżmy, że dla niektórych istnieje tak że na i . Wtedy aproksymuje od dołu, więc według standardowej definicji jako supremum całek prostych funkcji aproksymujących od dołu, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

mi Y \geq \int ϵ {ja}_{ZA} P. (re ω) = ϵ P. (ZA) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ co jest sprzecznością. Zatem , . Gotowy.

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— ekvall
źródło

5

Udowodnij to przez sprzeczność. Według definicji wariancji i twoich założeń masz

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2)} fa (x) re x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

gdzie oznacza gęstość prawdopodobieństwa . Zauważ, że zarówno i są nieujemne. $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

Teraz, jeśli , to $P(X=k)<1$

U : = (R ∖ {k}) \cap {fa}^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

ma środek większa od zera, i . Ale wtedy $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2)} fa (x) re x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(w tym przypadku można dołączyć argument w stylu ) i dlatego $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2)} fa (x) re x \geq \int_{U} (x - k)^{2)} fa (x) re x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

i twoja sprzeczność.

— Stephan Kolassa
źródło

2

Co to jest ? Czy to to samo, co jak? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

W każdym razie jest to oczywiste

(X - mi [X])^{2)} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

Przypuszczać

mi [X - mi [X])^{2)}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

Następnie

(X - mi [X])^{2)} = 0 tak jak

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

Ostatni krok, który moim zdaniem dotyczy ciągłości prawdopodobieństwa ... lub tego, co zrobiłeś (masz rację).

Istnieje również nierówność Czebyszewa :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P. (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2)}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P. (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P. (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

Znowu dobrze mówię .

Przy okazji, dlaczego tak jest

\int_{R} x re fa (x) = \int_{R} x^{2)} re fa (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

Wydaje mi się, że podczas gdy $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
źródło

1

Tak, masz rację. Zredagowałem post

— Klarnecista

@Clarinetist Edytowano też: P

— BCLC