Czy średnia zmiennej jednowymiarowej jest zawsze równa całce jej funkcji kwantylowej?

Właśnie zauważyłem, że całkowanie funkcji kwantylowej zmiennej losowej jednowymiarowej (odwrotny cdf) od p = 0 do p = 1 daje średnią zmiennej. Do tej pory nie słyszałem o tym związku, więc zastanawiam się: czy tak jest zawsze? Jeśli tak, to czy związek ten jest powszechnie znany?

Oto przykład w pythonie:

from math import sqrt
from scipy.integrate import quad
from scipy.special import erfinv

def normalPdf(x, mu, sigma):
    return 1.0 / sqrt(2.0 * pi * sigma**2.0) * exp(-(x - mu)**2.0 / (2.0 * sigma**2.0))

def normalQf(p, mu, sigma):
    return mu + sigma * sqrt(2.0) * erfinv(2.0 * p - 1.0)

mu = 2.5
sigma = 1.3
quantileIntegral = quad(lambda p: quantile(p,mu,sigma), 0.0, 1.0)[0]
print quantileIntegral # Prints 2.5.

Niech $F$ będzie CDF zmiennej losowej $X$ , więc odwrotną CDF można zapisać $F^{-1}$ . W całce wykonaj podstawienie $p = F(x)$ , $dp = F'(x)dx = f(x)dx$ aby otrzymać

$$\int_0^1F^{-1}(p)dp = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx = \mathbb{E}_F[X].$$

Dotyczy to ciągłych dystrybucji. Należy zwrócić uwagę na inne dystrybucje, ponieważ odwrotny CDF nie ma unikalnej definicji.

Edytować

Gdy zmienna nie jest ciągła, nie ma rozkładu, który jest absolutnie ciągły w odniesieniu do miary Lebesgue'a, wymagając staranności przy definiowaniu odwrotnego CDF i staranności w całkach obliczeniowych. Rozważmy na przykład przypadek dystrybucji dyskretnej. Z definicji jest to taki, którego CDF $F$ jest funkcją krokową z krokami wielkości $\Pr_F(x)$ dla każdej możliwej wartości $x$ .

Ta Figura przedstawia CDF na Bernoulliego rozkład skalowane przez 2 . Oznacza to, że ma zmienną losową prawdopodobieństwo 1 / 3 wyrównywania 0 , a prawdopodobieństwo 2 / 3 wyrównywania 2 . Wysokości skoków przy 0 i 2 podają ich prawdopodobieństwa. Oczekiwanie tej zmiennej wyraźnie równe 0 x ( 1 / 3 ) + 2 x ( 2 / 3 ) = $(2/3)$$2$$1/3$$0$$2/3$$2$$0$$2$ .$0\times(1/3)+2\times(2/3)=4/3$

Możemy zdefiniować „odwrotny CDF” , wymagając$F^{-1}$

$$F^{-1}(p) = x \text{ if } F(x) \ge p \text{ and } F(x^{-}) \lt p.$$

Oznacza to, że jest również funkcją krokową. Dla każdej możliwej wartości x zmiennej losowej F - 1 osiągnie wartość x w przedziale długości Pr F ( x ) . Dlatego jego całka jest uzyskiwana przez zsumowanie wartości x Pr F ( x ) , co jest tylko oczekiwaniem.$F^{-1}$$x$$F^{-1}$$x$$\Pr_F(x)$$x\Pr_F(x)$

To jest wykres odwrotnego CDF z poprzedniego przykładu. Skoki i 2 / 3 w CDF się poziome linie tych odcinków na wysokości równej 0 i 2 , w których wartości prawdopodobieństwa odpowiadają. (Inverse CDF nie jest określona za przedziału [ 0 , 1 ] ). Jego całka jest sumą dwóch prostokątów, jeden o wysokości 0 i podstawy 1 / 3 , z drugiej wysokości 2 i podstawa 2 / 3 , w wysokości 4 /$1/3$$2/3$$0$$2$$[0,1]$$0$$1/3$$2$$2/3$$4/3$, jak wcześniej.

Ogólnie rzecz biorąc, dla mieszaniny rozkładu ciągłego i dyskretnego musimy zdefiniować odwrotny CDF, aby równolegle tę konstrukcję: przy każdym dyskretnym skoku wysokości musimy utworzyć poziomą linię długości p, jak podano w poprzednim wzorze.$p$$p$

Równoważny wynik jest dobrze znany w analizie przeżycia : oczekiwany czas życia wynosi gdzie funkcja przeżycia wynosi S ( t ) = Pr ( T > t ) mierzona od urodzenia w t = 0 . (Można go łatwo rozszerzyć, aby obejmował ujemne wartości t .)

$$\int_{t=0}^\infty S(t) \; dt$$ $S(t) = \Pr(T \gt t)$$t=0$$t$

Możemy więc przepisać to jako ale jest to ∫ 1 q = 0 F - 1 ( q

$$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt$$ jak pokazano w różnych odbiciach danego obszaru $$\int_{q=0}^1 F^{-1}(q) \; dq$$

Oceniamy:

Spróbujmy z prostą zmianą zmiennej:

Zauważamy, że z definicji PDF i CDF:

prawie wszędzie. Zatem z definicji mamy wartość oczekiwaną:

For any real-valued random variable $X$ with cdf $F$ it is well-known that $F^{-1}(U)$ has the same law than $X$ when $U$ is uniform on $(0,1)$. Therefore the expectation of $X$, whenever it exists, is the same as the expectation of $F^{-1}(U)$:

$$E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1 F^{-1}(u)\mathrm{d}u.$$ The representation $X \sim F^{-1}(U)$ holds for a general cdf $F$, taking $F^{-1}$ to be the left-continuous inverse of $F$ in the case when $F$ it is not invertible.

Note that $F(x)$ is defined as $P(X\le x)$ and is a right-continuous function. $F^{-1}$ is defined as

$$\begin{equation} F^{-1}(p)=\min(x|F(x)\ge p). \end{equation}$$ The $\min$ makes sense because of the right continuity. Let $U$ be a uniform distribution on $[0, 1]$. You can easily verify that $F^{-1}(U)$ has the same CDF as $X$, which is $F$. This doesn't require $X$ to be continuous. Hence, $E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1F^{-1}(p)\mathop{dp}$. The integral is the Riemann–Stieltjes integral. The only assumption we need is the mean of $X$ exists ($E|X|<\infty$).