Pomóż mi zrozumieć funkcję kwantylu (odwrotny CDF)

Czytam o funkcji kwantylu, ale nie jest to dla mnie jasne. Czy możesz podać bardziej intuicyjne wyjaśnienie niż podane poniżej?

Ponieważ cdf jest monotonicznie rosnącą funkcją, ma odwrotność; oznaczmy to przez . Jeśli jest cdf , to jest wartością tak że ; nazywa się to kwantyl . Wartość jest medianą rozkładu, z połową masy prawdopodobieństwa po lewej, a połową po prawej. Wartości i to dolny i górny kwartyl. $F$ $F^{−1}$ $F$ $X$ $F^{−1}(\alpha)$ $x_\alpha$ $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ $\alpha$ $F$ $F^{−1}(0.5)$ $F^{−1}(0.25)$ $F^{−1}(0.75)$

— Inder Gill
źródło

Powinieneś nauczyć się używać znaczników matematycznych, zobacz moje zmiany!

— kjetil b halvorsen

Jest to model zwięzłego wyjaśnienia na pewnym poziomie i zawiera już przykład. Nie jest jasne, jakiego poziomu wyjaśnienia szukasz. Odpowiedź może być 10 razy dłuższa w zależności od tego, czego nie wiesz. Np. Czy wiesz, że jest plik cdf? Czy wiesz, co oznacza „monotonicznie rosnący”? wiesz co to jest funkcja odwrotna? Jesteśmy w połowie zdania pierwszego zdania. Twoje pytanie jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że tego nie rozumiesz (wszystko) i chociaż nie mamy powodu, aby w ciebie wątpić, to wcale nie jest dokładne pytanie.

— Nick Cox

Na początku wszystko to może wydawać się skomplikowane, ale zasadniczo dotyczy czegoś bardzo prostego.

Przez funkcję rozkładu skumulowanego oznaczamy funkcję, która zwraca prawdopodobieństwa, że będzie mniejsze lub równe pewnej wartości , $X$ $x$

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

Ta funkcja przyjmuje jako dane wejściowe i zwraca wartości z przedziału (prawdopodobieństwa) --let oznacza je jako . Odwrotność funkcji dystrybuanty (lub odwrotna dystrybuanta) mówi, co stałaby zwraca jakąś wartość , $x$ $[0, 1]$ $p$ $x$ $F(x)$ $p$

F^{- 1} (p) = x .

$F^{-1}(p) = x.$

Jest to zilustrowane na poniższym schemacie, który wykorzystuje jako przykład normalną funkcję rozkładu skumulowanego (i jej odwrotność).

Przykład

Jako prosty przykład możesz wziąć standardową dystrybucję Gumbela . Jego funkcją rozkładu skumulowanego jest

F (x) = e^{- e^{- x}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

i można go łatwo odwrócić: przywołanie funkcji logarytmu naturalnego jest odwrotnością funkcji wykładniczej , więc od razu jest oczywiste, że funkcja kwantylu dla rozkładu Gumbela jest

F^{- 1} (p) = - \ln (- \ln (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

Jak widać, funkcja kwantylu, zgodnie z alternatywną nazwą, „odwraca” zachowanie funkcji rozkładu skumulowanego.

Uogólniona funkcja rozkładu odwrotnego

Nie każda funkcja ma odwrotność. Dlatego cytowany cytat mówi „monotonicznie rosnąca funkcja”. Przypomnijmy, że z definicji funkcji należy przypisać dla każdej wartości wejściowej dokładnie jedno wyjście. Funkcje rozkładu skumulowanego dla ciągłych zmiennych losowych spełniają tę właściwość, ponieważ rosną monotonicznie. W przypadku dyskretnych zmiennych losowych skumulowane funkcje rozkładu nie są ciągłe i rosną, dlatego używamy uogólnionych funkcji rozkładu odwrotnego, które muszą być nie malejące. Bardziej formalnie, uogólniona funkcja rozkładu odwrotnego jest zdefiniowana jako

F^{- 1} (p) = inf {x \in R : F (x) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

Definicja, przetłumaczona na zwykły angielski, mówi, że dla danej wartości prawdopodobieństwa szukamy pewnej wartości , co powoduje, że zwraca wartość większą lub równą niż , ale ponieważ może istnieć wiele wartości które to spełniają warunek (np. jest prawdą dla dowolnego ), więc bierzemy najmniejszą z nich. $p$ $x$ $F(x)$ $p$ $x$ $F(x) \ge 0$ $x$ $x$

Funkcje bez odwrotności

Ogólnie rzecz biorąc, nie ma odwrotności dla funkcji, które mogą zwracać tę samą wartość dla różnych danych wejściowych, na przykład funkcji gęstości (np. Standardowa funkcja normalnej gęstości jest symetryczna, więc zwraca te same wartości dla i itd.). Rozkład normalny jest interesującym przykładem z jeszcze jednego powodu - jest to jeden z przykładów skumulowanych funkcji rozkładu, które nie mają odwróconej postaci zamkniętej . Nie każda funkcja rozkładu skumulowanego musi mieć odwrotną postać zamkniętą ! Mam nadzieję, że w takich przypadkach odwrotności można znaleźć metodami numerycznymi. $-2$ $2$

Przypadek użycia

Funkcja kwantylu może być używana do generowania losowego, jak opisano w Jak działa metoda transformacji odwrotnej?

— Tim
źródło

Ta odpowiedź działa dobrze aż do przedostatniego akapitu. Zanim tam dotrzesz, zapewniłeś, że każdy ciągły CDF ma odwrotność, ale wydaje się, że zaoferowałeś rozkład normalny jako kontrprzykład do tego właśnie stwierdzenia. Jest to potencjalnie bardzo mylące.

— whuber

@ gdy masz rację, dodano jedno zdanie, aby było bardziej jasne.

— Tim

Tim i ja dodaliśmy jeszcze jedno słowo, aby było jeszcze jaśniej :)

— amoeba mówi Przywróć Monikę

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$ dałoby największą dolną granicę, tj. naprawiłby unikalny punkt i przez to zdefiniował uogólnioną odwrotność. Czy to ma sens ?

— Alexander Cska

@AlexanderCska Tak, w zasadzie, wiele wartości F (x) jest większych niż u, więc bierzemy dolną granicę, „najmniejszą wartość, która spełnia ten warunek”.

— Tim

Tim miał bardzo dokładną odpowiedź. Dobra robota!

Chciałbym dodać jeszcze jedną uwagę. Nie każda monotonicznie rosnąca funkcja ma funkcję odwrotną. W rzeczywistości tylko ściśle monotonicznie rosnące / malejące funkcje mają funkcje odwrotne.

Dla monotonicznie rosnącego cdf, który nie jest ściśle monotonicznie rosnący, mamy funkcję kwantylową, która jest również nazywana funkcją odwrotnego skumulowanego rozkładu. Więcej informacji znajdziesz tutaj .

$F^{-1}$

— Tingguang Li
źródło