Czy każda macierz korelacji jest dodatnia?

11

Mówię tu o macierzach korelacji Pearsona.

Często słyszałem, że mówiono, że wszystkie macierze korelacji muszą być dodatnie półfinałowe. Rozumiem, że dodatnie określone macierze muszą mieć wartości własne , podczas gdy dodatnie semidkończone macierze muszą mieć wartości własne . To sprawia, że myślę, że moje pytanie można przeformułować w następujący sposób: „Czy macierze korelacji mogą mieć wartość własną ?” $> 0$ $\ge 0$ $= 0$

Czy jest możliwe, aby macierz korelacji (wygenerowana z danych empirycznych, bez brakujących danych) miała wartość własną lub wartość własną ? Co jeśli zamiast tego była to macierz korelacji populacji? $= 0$ $< 0$

Przeczytałem na górze odpowiedź na to pytanie dotyczące macierzy kowariancji, że

Rozważmy trzy zmienne, , i . Ich macierz kowariancji, , nie jest określona dodatnio, ponieważ istnieje wektor ( ), dla którego nie jest dodatni. $X$ $Y$ $Z = X+Y$ $M$ $z$ $= (1, 1, -1)'$ $z'Mz$

Jednakże, jeśli zamiast macierzy kowariancji zrobić te obliczenia na macierzy korelacji następnie wychodzi jako pozytywne. Myślę więc, że być może sytuacja wygląda inaczej w przypadku macierzy korelacji i kowariancji. $z'Mz$

Powodem mojego pytania jest to, że zostałem zapytany o przepływ stosu w związku z pytaniem, które tam zadałem.

covariance-matrix eigenvalues correlation-matrix

— user1205901 - Przywróć Monikę
źródło

Jeśli na przykład dwa atrybuty są jedną rzeczą, mającą tylko różne nazwy, macierz jest pojedyncza. Jeśli dwa atrybuty dodają do stałej, jest to znowu liczba pojedyncza, i tak dalej .

— ttnphns

Jeśli macierz kowariancji jest liczbą pojedynczą, macierz korelacji również jest liczbą pojedynczą.

— ttnphns

2

Prawie duplikaty: czy każda macierz korelacji jest dodatnia na półokreślona? która mniej skupia się na kącie określonym względem półokreślonego i czy każda macierz kowariancji jest dodatnia? co jest istotne, ponieważ kowariancja jest zasadniczo przeskalowaną korelacją.

— Silverfish,

16

Macierze korelacji nie muszą być definitywnie dodatnie.

Rozważ skalarną zmienną losową X o niezerowej wariancji. Zatem macierz korelacji X z samą sobą jest macierzą wszystkich, która jest dodatnia półokreślona, ale nie dodatnia określona.

Jeśli chodzi o korelację próbek, rozważ dane przykładowe dla powyższego, mając pierwszą obserwację 1 i 1, a drugą obserwację 2 i 2. To powoduje, że korelacja próbki jest macierzą wszystkich, więc nie jest dodatnia.

Przykładowa macierz korelacji, jeśli jest obliczona z dokładną arytmetyką (tj. Bez błędu zaokrąglenia), nie może mieć ujemnych wartości własnych.

— Mark L. Stone
źródło

4

Warto wspomnieć o możliwym wpływie brakujących wartości na przykładową macierz korelacji . Fuzz numeryczny nie jest jedynym powodem uzyskania ujemnej wartości własnej w przykładowej macierzy korelacji / kowariancji.

— Silverfish,

1

Tak, nie wyraziłem tego wyraźnie, ale zakładałem, zgodnie z pytaniem, „bez brakujących danych”. Gdy znajdziesz się w dzikim, zwariowanym świecie brakujących danych i ich korekty, wszystko idzie.

— Mark L. Stone,

Tak, przepraszam, masz całkowitą rację, pytanie brzmiało „brak brakujących danych” - pomyślałem, że warto o tym wspomnieć, ponieważ przyszli poszukiwacze mogą być zainteresowani, nawet jeśli apetyt PO jest zaspokojony!

— Silverfish,

7

$X_1 = X_2$ $X_1 = 2X_2$

$n<p$ $n-1$ $p-n+1$ $n-1$

— ameba
źródło

Prawdziwe dane. Podejrzewam, że mógłbym i powinienem podać te informacje, ale moim celem było stworzenie kontrprzykładu, który obaliłby hipotezę OP, pokazując w ten sposób jej nieważność. Powinieneś jednak dostosować drugie zdanie tak, aby brzmiało: „W tym przypadku macierze kowariancji i korelacji będzie co najwyżej ranga n − 1, więc będzie co najmniej (p − n + 1) zero wartości własnych. ”

— Mark L. Stone,

4

$X$ $Y=2X$ $(X,Y)$ $2X=Y$ $E[Y^2]=4E[X^2]=\sigma_Y^2$ $E[XY]=2E[X^2]$ $\mbox{Cov}(X,Y)=E[XY]-EXEY=E[XY]$

Λ = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}),

$\Lambda = \left(\array{1 & 2 \\ 2 & 4 }\right),$

Λ = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}),

$\Lambda = \left(\array{1 & 1 \\ 1 & 1 }\right),$

X

$X$

Y

$Y$

— yoki
źródło

2

Λ

$\Lambda$

c o v (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 2 E [X^{2}] = 2 (σ_{X}^{2} + [E (X)]^{2})

$cov(X,Y)= \mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)= 2\mathbb{E}[X^2]=2\left(\sigma_X^2+[E(X)]^2\right)$

E (X^{2}) = Var (X) + [E (X)]^{2}

$E(X^2)=\text{Var}(X)+[E(X)]^2$

d i a g Λ^{- 1 / 2} Λ d i a g Λ^{1 / 2}

$diag \Lambda^{-1/2}\,\Lambda\, diag \Lambda^{1/2}$

@AntoniParellada, nie jestem do końca pewien, co masz na myśli - kowariancja tutaj jest bezpośrednim obliczeniem. Ale dokonam edycji i wyjaśnię to. Dzięki.

— yoki