rozkład t mający cięższy ogon niż rozkład normalny

W notatkach z mojego wykładu jest napisane:

rozkład t wygląda normalnie, choć z nieco cięższymi ogonami.

Rozumiem, dlaczego wyglądałoby to normalnie (z powodu twierdzenia o granicy centralnej). Ale trudno mi zrozumieć, jak matematycznie udowodnić, że ma on cięższe ogony niż rozkład normalny i czy istnieje sposób na zmierzenie, w jakim stopniu jest cięższy niż rozkład normalny.

Pierwszą rzeczą do zrobienia jest sformalizowanie tego, co rozumiemy przez „cięższy ogon”. Po standaryzacji obu rozkładów, aby mieć tę samą lokalizację i skalę (np. Odchylenie standardowe), można po prostu spojrzeć na to, jak wysoka jest gęstość w skrajnym ogonie:

(z tej odpowiedzi, która jest również w pewnym stopniu istotna dla twojego pytania )

[W tym przypadku skalowanie nie ma tak naprawdę znaczenia; t będzie nadal „cięższy” niż normalnie, nawet jeśli użyjesz bardzo różnych skal; normalność zawsze ostatecznie obniża się]

Jednak ta definicja - choć działa dobrze w przypadku tego konkretnego porównania - nie uogólnia się zbyt dobrze.

Mówiąc bardziej ogólnie, o wiele lepsza definicja znajduje się w odpowiedzi Whubera . Więc jeśli$Y$ jest cięższy niż $X$, tak jak $t$ staje się wystarczająco duży (dla wszystkich $t>$ trochę $t_0$), następnie $S_Y(t)>S_X(t)$, gdzie $S=1-F$, gdzie $F$ to cdf (dla grubszych po prawej stronie; z drugiej strony jest podobna, oczywista definicja).

Tutaj jest w skali logarytmicznej i w skali kwantowej normy, co pozwala nam zobaczyć więcej szczegółów:

Zatem „dowód” na większą ogonowość wymagałby porównania cdfs i pokazania, że ​​górny ogon t-cdf ostatecznie zawsze znajduje się powyżej tego normalnego, a dolny ogon t-cdf ostatecznie zawsze znajduje się poniżej tego normalnego.

W takim przypadku łatwą rzeczą jest porównanie gęstości, a następnie wykazanie, że odpowiednie względne położenie cdfs (/ funkcji survivor) musi wynikać z tego.

Na przykład, jeśli możesz się z tym kłócić (w pewnym momencie $\nu$)

$x^2 - (\nu+1) \log(1+\frac{x^2}{\nu}) > 2\cdot\log(k)\qquad^\dagger$

dla niezbędnej stałej $k$ (funkcja $\nu$), dla wszystkich $x>$ trochę $x_0$, to byłoby możliwe ustalenie cięższego ogona $t_\nu$ także na definicji w kategoriach większych $1-F$ (lub większy $F$ na lewym ogonie).

$^\dagger$ (ta forma wynika z różnicy dziennika gęstości, jeśli zachowuje niezbędny związek między gęstościami)

[Właściwie można to pokazać dla każdego $k$ (nie tylko ten, którego potrzebujemy, pochodzący z odpowiednich stałych normalizujących gęstość), więc wynik musi się przydać $k$ potrzebujemy.]

Jednym ze sposobów dostrzeżenia różnicy jest wykorzystanie chwil $E\{x^n\}.$

„Cięższe” ogony będą oznaczać wyższe wartości dla parzystych momentów mocy (moc 4, 6, 8), gdy wariancja jest taka sama. W szczególności moment czwartego rzędu (około zera) nazywa się kurtozą i w pewnym sensie porównuje ciężkość ogonów.

Szczegóły w Wikipedii ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis )

Oto formalny dowód oparty na funkcjach przetrwania. Używam następującej definicji „cięższego ogona” inspirowanej wikipedią :

Zmienna losowa $Y$ z funkcją przetrwania $S_y(t)$ ma cięższe ogony niż zmienna losowa $X$ z funkcją przetrwania $S_x(t)$ iff

$$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \infty$$

Rozważ zmienną losową $Y$ rozłożone jako t Studenta ze średnią zero, stopniami swobody $\nu$ i parametr skali $a$. Porównujemy to do zmiennej losowej$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$. Dla obu zmiennych funkcje przeżycia są rozróżnialne. W związku z tym,

$$\begin{align*} \lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} &= \lim_{t\to\infty}\frac{f_y(t)}{f_x(t)} = \exp \lim_{t\to\infty}\left(\log f_y(t) - \log f_x(t)\right)\\ &=\exp \lim_{t\to\infty}\left(-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2\sigma^2}t^2-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}\frac{a^2}{\sigma^2}u - (\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u}+\frac{C}{u}\right)\right) \end{align*}$$ Gdzie zastąpiliśmy $u=t^2/a^2$. Zauważ, że$0<a^2/\sigma^2<\infty$ jest stałą $\lim_{u\to\infty} C/u = 0$ i $$\lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u} = \lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)}{(1)(1+\frac{u}{\nu})(\nu)} = 0$$ Stąd przez twierdzenie o granicy algebraicznej, $$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty} u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - (0) + (0)\right)\right) = \infty$$

Co ważne, wynik dotyczy dowolnych (skończonych) wartości $a$, $\sigma^2$, i $\nu$, więc możesz mieć sytuacje, w których rozkład ma mniejszą wariancję niż normalnie, ale nadal ma cięższe ogony.