Udowodnij / odrzuć

Udowodnij / odrzuć $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

Biorąc filtrowanego przestrzeń prawdopodobieństwa $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ , niech $A \in \mathscr{F}$ .

Załóżmy, że Czy wynika z tego, żeCo z ?

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 1 a.s.

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$

E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A} | F_{t}] a.s. \forall s > t ?

$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$

\forall s < t

$\forall s < t$

Co jeśli zamiast

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 0 a.s. ?

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$ A co jeśli

E [1_{A} | F_{t}] = p a.s. for some p \in (0, 1) ?

$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$

Co próbowałem:

Jeżeli , następnie , czyli tyle samo, co (prawie na pewno). W tym przypadku (prawie na pewno) dla każdego . $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$ $\Bbb E[1_A]=1$ $1_A=1$ $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$ $s$

Podobnie, jeśli , następnie , czyli tyle samo, co (prawie na pewno). W tym przypadku (prawie na pewno) dla każdego . $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$ $\Bbb E[1_A]=0$ $1_A=0$ $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$ $s$

Jeżeli , dla stałej , to mamy $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$ $p\in(0,1)$

. Może się to nie powieść, jeśli . $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$ $s>t$

Alternatywnie dla przypadku : $= p$

Niech będzie ograniczoną mierzalną zmienną losową. $F$ $\mathscr F_t$

E [1_{A} \cdot F] = E [E [1_{A} \cdot F | F_{t}]] = E [F \cdot E [1_{A} | F_{t}]]

$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$

= E [p \cdot F] = p E [F] = E [1_{A}] \cdot E [F]

$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$

co oznacza, że i są niezależne. Innymi słowy, i są niezależne. Zatem i są również niezależne, jeżeli a zatem . Może się to nie powieść, jeśli . $1_A$ $F$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_t$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_s$ $s<t$ $E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$ $s>t$

Chyba chodzi o to, że stała się zarówno niezależne od i -measurable $\mathscr F_s$ $\mathscr F_s$ .

— BCLC
źródło

Twój argument wydaje się słuszny, ale zaczynasz od założenia, że . Pytanie brzmi jednak, że , co miałbym na myśli, że zmienna losowa przyjmuje wartości z zestawu tj. $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$ $E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]$ $\{0, 1\}$ gdzie . Właściwością definiującą to warunkowe oczekiwanie jest to, że dla wszystkich . W szczególności przyjęcieprowadzi do, z którego możemy wywnioskować, że $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$ $B\in\mathscr{F_t}$ $\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$ $F\in\mathscr{F_t}$ $F=B$ $P(B)=P(A\cap B)$ $B\subset A$ (z wyjątkiem ewentualnie zerowego prawdopodobieństwa). Wiemy jednak również (jak w argumencie, który napisałeś), że tj. , więc jedynym możliwym wnioskiem jest to, że (z wyjątkiem ewentualnie zbioru zerowego prawdopodobieństwa). $E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$ $P(A)=P(B)$ $A=B$

Dla , $s\gt t$ , więc prawo wieży dla oczekiwań warunkowych implikuje, że. Ale , więc $\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ . Zatem wszystkie warunkowe oczekiwania dla są równe (do ). Dla , jeśli , nadal będziemy mieć . Z drugiej strony, jeśli chcemy wrócić do czasów, w którychnie jest w , a następnie nie sądzę cokolwiek można powiedzieć o $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $s>t$ $1_A$ $s<t$ $A\in\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $A$ $\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]$ ogólnie. Konkretny przykład znajduje się w tym dokumencie , rysunek 1. Biorąc na przykład , daje ciąg warunkowych oczekiwań $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$ , $E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$ ,,. $E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$

— S. Catterall Przywróć Monikę
źródło

Dzięki S. Catterall. Skąd wiesz 1

? 2

? Również edytuję pytanie. Przepraszam za jakiekolwiek niedogodności. Wykorzystam trochę waszego wglądu do edycji

P (B) = P (A \cup B) \to B \subseteq A

$P(B) = P(A \cup B) \to B \subseteq A$

E [1_{A} | F_{t}] = 1_{A}

$E[1_A | \mathscr{F}_t] = 1_A$

— BCLC,

Pozwól, że spróbuję streścić w języku naturalnym; filtrujące odpowiada coraz drobniejszy podziału przestrzeni efektów, warunkowego oczekiwaniem zdarzeń

wrt kolejne elementy filtrujące ( „w nowych informacji”) staje się bardziej osiągnął około zdarzenia (w stanie początkowym informacji

to tylko jednolity rozkład). Czas zatrzymania jest powierzchnią procesu ustaloną na poziomie stochastycznym (w pracy zmienna wynikowa jest binarna i wybrano wartość

A

$A$

F_{0}

$\mathscr{F}_0$

0

$0$

— ocramz

@ocramz i S. Catterall, gotowe. Jak to jest proszę? ^ - ^

— BCLC,

A

$A$

ω_{i}

$\omega_i$

A

$A$

A

$A$

0

$0$

W odpowiedzi na pytania w pierwszym komentarzu: jeśli

P (B) = P (A \cap B)

$P(B) = P(A \cap B)$

B

$B$

A \cap B

$A\cap B$

A^{c} \cap B

$A^c\cap B$

P (A^{c} \cap B) = 0

$P(A^c\cap B)=0$

B \subset A

$B\subset A$

P (A) = P (B)

$P(A)=P(B)$

A = B \in F_{t}

$A=B\in \mathscr{F_t}$