Jaka jest różnica między N a N-1 w obliczaniu wariancji populacji?

Nie zrozumiałem, dlaczego tak jest, Ni N-1podczas obliczania wariancji populacji. Kiedy korzystamy Ni kiedy korzystamy N-1?

Kliknij tutaj, aby uzyskać większą wersję

Mówi, że gdy populacja jest bardzo duża, nie ma różnicy między N i N-1, ale nie mówi, dlaczego na początku występuje N-1.

Edycja: Proszę nie mylić ni n-1które są używane do oszacowania.

Edycja2: Nie mówię o szacowaniu populacji.

n ( N - 1 ) / N = 1 - ( 1 / N ) 1 - 2 / N 1 - 17 / N exp ( - 1 / N $N$ jest wielkością populacji, a jest wielkością próby. Pytanie dotyczy tego, dlaczego wariancja populacji jest średnim kwadratowym odchyleniem od średniej, a nie razy. Jeśli o to chodzi, po co się tu zatrzymywać? Dlaczego na przykład nie pomnożyć średniego odchylenia do kwadratu przez lub lub ?$n$$(N-1)/N = 1-(1/N)$$1-2/N$$1-17/N$$\exp(-1/N)$

Jest naprawdę dobry powód, aby tego nie robić. Każda z tych liczb, o których właśnie wspomniałem, posłuży jako dobry sposób na oszacowanie „typowego rozprzestrzeniania się” w populacji. Jednak bez wcześniejszej wiedzy na temat wielkości populacji niemożliwe byłoby użycie próby losowej w celu znalezienia obiektywnego oszacowania takiej liczby. Wiemy, że wariancja próby , która zwielokrotnia średnie kwadratowe odchylenie od średniej próby przez , jest obiektywnym estymatorem zwykłej wariancji populacji przy próbkowaniu z wymianą. (Nie ma problemu z dokonaniem tej korekty, ponieważ znamy !) W związku z tym wariancja próbki byłaby tendencyjnym estymatorem dowolnej wielokrotności wariancji populacji, w której ta wielokrotność, np.n 1 - 1 /$(n-1)/n$$n$$1-1/N$, nie jest wcześniej dokładnie znany.

Ten problem z nieznaną ilością stronniczości rozprzestrzeniłby się na wszystkie testy statystyczne wykorzystujące wariancję próbki, w tym testy t i testy F. W efekcie dzielenie przez formułę wariancji populacyjnej innej niż wymagałoby zmiany wszystkich tabel statystycznych statystyki t i statystyki F (oraz wielu innych tabel), ale dostosowanie zależałoby od wielkości populacji. Nikt nie chce tworzyć tabel dla każdego możliwego ! Zwłaszcza, gdy nie jest to konieczne.$N$$N$

Z praktycznego punktu widzenia, gdy jest na tyle, że przy użyciu małych zamiast w formułach robi różnicę, zwykle nie zna wielkości populacji (lub można odgadnąć go dokładnie) i będzie prawdopodobnie uciekać się do znacznie bardziej istotnego małej populacji poprawki podczas pracy z losowymi próbkami (bez zastępowania) z populacji. We wszystkich innych przypadkach, kogo to obchodzi? Różnica nie ma znaczenia. Z tych powodów, kierując się względami pedagogicznymi (a mianowicie skupieniem się na szczegółach, które mają znaczenie i połyskiem nad szczegółami, które nie mają znaczenia), niektóre doskonałe teksty ze statystyk wprowadzających nawet nie przeszkadzają w nauczaniu różnicy: po prostu zapewniają formułę pojedynczej wariancji ( dzielić przezN - 1 N N $N$$N-1$$N$$N$ lub zależnie od przypadku).$n$

Zamiast zagłębiać się w matematykę, postaram się wyrazić to prostymi słowami. Jeśli masz do dyspozycji całą populację, wówczas jej wariancja ( wariancja populacyjna ) jest obliczana za pomocą mianownika N. Podobnie, jeśli masz tylko próbkę i chcesz obliczyć wariancję tej próbki , używasz mianownika N(w tym przypadku n próbki). W obu przypadkach, uwaga, nie oszacować niczego: średnie, które mierzone jest prawdziwa średnia i wariancja ty obliczana od tej średniej jest prawdziwym wariancji.

Teraz masz tylko próbkę i chcesz wnioskować o nieznanej średniej i wariancji w populacji. Innymi słowy, chcesz oszacowań . Bierzesz średnią z próby dla oszacowania średniej populacji (ponieważ twoja próbka jest reprezentatywna), OK. Aby uzyskać oszacowanie wariancji populacji, musisz udawać, że ta średnia jest naprawdę średnią populacji, a zatem nie jest już zależna od twojej próby od momentu jej obliczenia. Aby „pokazać”, że traktujesz to jako ustalone, zastrzegasz jedną (dowolną) obserwację z próbki, aby „wesprzeć” wartość średniej: bez względu na to, co mogła się zdarzyć twoja próbka, jedna zastrzeżona obserwacja zawsze może sprowadzić średnią do wartości, którą „ dostałem i który uważa, że ​​jest niewrażliwy na nieprzewidziane próby. Jedną zastrzeżoną obserwacją jest „-1”N-1 w obliczaniu wariancji obliczeniowej.

Wyobraź sobie, że w jakiś sposób znasz prawdziwą średnią populacji, ale chcesz oszacować wariancję na podstawie próby. Następnie zamienisz ten prawdziwy środek na formułę wariancji i zastosujesz mianownik N: nie potrzebujesz tutaj „-1”, ponieważ znasz prawdziwy środek, nie oszacowałeś go na podstawie tej samej próbki.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli ktoś ma tylko ułamek populacji, tj. Próbkę, należy podzielić przez n-1. Jest ku temu dobry powód, wiemy, że wariancja próby, która zwielokrotnia średnie kwadratowe odchylenie od średniej próby przez (n-1) / n, jest obiektywnym estymatorem wariancji populacji.

Możesz znaleźć dowód, że estymator wariancji próbki jest obiektywny tutaj: https://economictheoryblog.com/2012/06/28/latexlatexs2/

Ponadto, gdyby zastosować estymator wariancji populacji, czyli wersję estymatora wariancji, która dzieli przez n, na próbie zamiast populacji, uzyskane oszacowanie byłoby tendencyjne.

W przeszłości istniał argument, że powinieneś używać N dla wariancji nieinferencyjnej, ale nie zalecałbym tego więcej. Zawsze powinieneś używać N-1. Gdy wielkość próbki maleje, N-1 jest całkiem dobrą poprawką na to, że wariancja próbki maleje (po prostu bardziej prawdopodobne jest, że będziesz pobierał próbki blisko szczytu rozkładu --- patrz rysunek). Jeśli wielkość próbki jest naprawdę duża, nie ma to znaczenia.

Alternatywnym wyjaśnieniem jest to, że populacja jest teoretyczną konstrukcją, której nie da się osiągnąć. Dlatego zawsze używaj N-1, ponieważ cokolwiek robisz, w najlepszym razie szacujesz wariancję populacji.

Od tego momentu zobaczysz N-1 w celu oszacowania wariancji. Prawdopodobnie nigdy nie spotkasz się z tym problemem ... z wyjątkiem testu, kiedy nauczyciel może poprosić cię o rozróżnienie między wnioskowaniem a wnioskiem miara wariancji nieinferencyjnej. W takim przypadku nie używaj odpowiedzi Whubera ani mojej, zapoznaj się z odpowiedzią ttnphns.

Uwaga: na tym rysunku wariancja powinna być zbliżona do 1. Spójrz, jak bardzo zmienia się ona wraz z rozmiarem próbki, gdy używasz N do oszacowania wariancji. (jest to „uprzedzenie”, o którym mowa w innym miejscu)

Wariancja populacji to suma kwadratowych odchyleń wszystkich wartości w populacji podzielona przez liczbę wartości w populacji. Gdy jednak szacujemy wariancję populacji z próby, napotykamy problem polegający na tym, że odchylenia wartości próbki od średniej próbki są średnio nieco mniejsze niż odchylenia tych wartości próbki od ( nieznana) średnia rzeczywistej populacji To powoduje, że wariancja obliczona na podstawie próby jest nieco mniejsza niż prawdziwa wariancja populacji. Użycie dzielnika n-1 zamiast n poprawia to niedoszacowanie.