niezmienność korelacji z transformacją liniową:

Jest to faktycznie jeden z problemów w czwartym wydaniu Gujarati Basic Econometrics (Q3.11) i mówi, że współczynnik korelacji jest niezmienny w odniesieniu do zmiany pochodzenia i skali, czyli gdzie , , , są stałymi arbitralnymi.

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

d

$d$

Ale moje główne pytanie jest następujące: Niech i będą sparowanymi obserwacjami i załóżmy, że i są dodatnio skorelowane, tj. . Wiem, że byłby negatywny w oparciu o intuicję. Jeśli jednak weźmiemy , oznacza to, że co to nie ma sensu. $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\text{corr}(X,Y)>0$ $\text{corr}(-X,Y)$ $a=-1, b=0, c=1, d=0$

corr (- X, Y) = Corr (X, Y) > 0

$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$

Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś mógł wskazać lukę. Dzięki.

— Daniel
źródło

Jeśli książka naprawdę mówi to, co mówisz, to znaczy, że jest źle; potrzebujesz

a c > 0

$ac>0$

— Glen_b

@Glen_b Tak, myślę, że książka podaje to źle, chyba że jestem ślepa, ponieważ tak naprawdę nie widzę żadnych warunków narzuconych na stałe.

— Daniel

Może być tak, że skala jest rozumiana jako wielkość dodatnia.

— Xi'an

@ Xi'an Może tak być, ale nie sądzę, by zostało to powiedziane w książce. Ale bardzo dziękuję za edycję i odpowiedź :)

— Daniel

corr (X, Y) = \frac{cov (X, Y)}{var (X)^{1 / 2} var (Y)^{1 / 2}}

$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$ i

cov (a X + b, c Y + d) = a c cov (X, Y)

$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$ równość

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$ działa tylko wtedy, gdy

a

$a$ i

c

$c$ są oba dodatnie lub oba ujemne, tj

a c > 0

$ac>0$ .

— Xi'an
źródło