Biorąc pod uwagę n równomiernie rozłożonych rv, jaki jest PDF dla jednego rv podzielony przez sumę wszystkich nv.v?

Interesuje mnie następujący rodzaj przypadku: istnieją ciągłe zmienne losowe „n”, które muszą sumować się do 1. Co to byłby plik PDF dla każdej pojedynczej takiej zmiennej? Jeśli więc $n=3$ , to jestem zainteresowany rozkładem dla $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ , gdzie$X_1, X_2$i$X_3$są rozmieszczone równomiernie. Średni oczywiście w tym przykładzie jest$1/3$, a średnia wynosi tylko$1/n$, a mimo to jest łatwe do dystrybucji symulacji w R, nie wiem, co rzeczywiste równanie PDF lub CDF jest.

Ta sytuacja jest związana z dystrybucją Irwin-Hall ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ). Tylko Irwin-Hall jest rozkładem sumy n jednolitych zmiennych losowych, podczas gdy chciałbym rozkład dla jednego z n jednolitych zmiennych rv podzielony przez sumę wszystkich n zmiennych. Dzięki.

Punkty przerwania w domenie sprawiają, że jest nieco niechlujny. Proste, ale żmudne podejście polega na osiągnięciu ostatecznego wyniku. Dla $n=3,$ niech $Y=X_2 + X_3,$ $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$a$T = 1 + W.$Następnie$Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

Wartości graniczne są 1 do 1 i 2 w W , 2 i 3, do T , i 1 / 3 i 1 / 2 do Z . Znalazłem pełny pdf$Y,$$W,$$T,$$1/3$$1/2$$Z.$

$$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$$

Plik cdf można następnie znaleźć jako

$$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$$

Let $Y=\sum_{i=2}^n X_i$. We can find the cdf of $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$ by calculating

$$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$$ We then differentiate and substitute the Irwin-Hall pdf to obtain the desired pdf: $$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$$ From here it gets a little messy, but you should be able to interchange the integral and summation and then perform a substitution (e.g, $u=\frac{tx_1}{1-t}-k$) to evaluate the integral and hence obtain an explicit formula for the pdf.

Assuming

"the N uniform distributions don't sum to 1."

This is how I started(it's incomplete):

Consider $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ and let $X=X_i$ by a slight abuse of notation.

Consider, $U = \frac{X}{Y}$ and $V =Y$:

$$X=UV\\ Y=V$$

Then following transformation of variables:

$$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

The joint probability function of $(U,V)$ is given by:

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

Where $X \sim U(0,1)$ and $Y \sim IrwinHall$

$$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$$

And,

$$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$$

Thus,

$$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$$

and $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

Suppose we already know sum of $U(0,1)$ has a Irwin-Hall distribution. Now your question changes to find the pdf (or CDF) of $\frac{X}{Y}$ when X had a $U(0,1)$ distribution and $Y$ has a Irwin-Hall distribution.

First we need to find he joint pdf of $X$ and $Y$.

Let $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

Then

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

Since $X_1, X_2, X_3$ are i.i.d with $U(0,1),$ therefore, $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

The joint distribution with $y_1,y_2,y_3$ is

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

Next let us integrate out the $Y_2$ and we can get the joint distribution of $Y_1$ and $Y_3$ i.e the joint distribution of $X_1$ and $X_1+X_2+X_3$

As suggested by whuber now I changed the the limits

$$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$$

Now, we know the joint pdf of $X,Y$ i.e joint pdf $X_1$ and $X_1+X_2+X_3$ is $y_3-y_1-2$.

Next let find the pdf of $\frac{X}{Y}$

We need another transformation:

Let $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

Then $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

Then

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

we already the joint distribution of $X,Y$ from above steps ref (1).

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

Next, we integrate the $y_1$ out we get the pdf of $y_2$ then we get the pdf of $\frac{X}{Y}$

$$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$$

This is the pdf of $X/Y$ i.e $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

We are not finish yet, what is $y_3$ in (2) then?

We know that $Y_3=X_1+X_2+X_3$ from the first transformation.

So at least we know $Y_3$ has a Irwin-Hall distribution.

I wonder can we plug the Irwin-Hall for $n=3$ pdf to (2) to get a explicit formula? or can we do some simulations from here as Glen suggested?