Prestiżowy paradoks magika

Prawdopodobnie znasz sztuczkę w filmie The Prestige :

[SPOILER FILMU] Mag odkrył imponującą sztuczkę magiczną: wchodzi do maszyny, zamyka drzwi, a następnie znika i pojawia się po drugiej stronie pokoju. Ale maszyna nie jest idealna: zamiast go teleportować, powielają go. Mag pozostaje tam, gdzie jest, a kopia jest tworzona po drugiej stronie pokoju. Następnie mag w maszynie dyskretnie wpada do zbiornika na wodę pod podłogą i tonie. Edycja: Prawdopodobieństwo, że nowa kopia magika zostanie zatopiona wynosi 1/2 (innymi słowy, nowa kopia ma 1/2 szansy na utonięcie i 1/2 szansy na wpadnięcie do pokoju). Ponadto zbiornik wody nigdy nie zawodzi, a prawdopodobieństwo, że mag zrzucony do zbiornika umrze, wynosi 1.

Więc magik tak naprawdę nie lubi tej sztuczki, ponieważ „nigdy nie wiesz, gdzie będziesz, po drugiej stronie pokoju lub utopiony”.

Paradoks jest następujący: Wyobraź sobie, że mag wykonuje lewę 100 razy. Jakie są jego szanse na przeżycie?

Edytuj, dodatkowe pytanie: Jakie są szanse magika na zachowanie mózgu fizycznego i brak nowego?

Szybka analiza: jedna ręka, żyje jeden mag i 100 utopionych magów, więc jego szanse wynoszą 1 na 100.

Z drugiej strony, za każdym razem, gdy wykonuje lewę, ma 1/2 szansy na przeżycie, więc jego szanse to pozostania przy życiu.$(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

Jaka jest właściwa odpowiedź i dlaczego?

Ten błąd został wykazany w pisemnych rozmowach między Fermatem, Pascalem i wybitnymi matematykami francuskimi w 1654 r., Gdy ci dwaj zastanawiali się nad „problemem punktów”. Prostym przykładem jest to:

Dwie osoby grają na podstawie wyniku dwóch rzutów uczciwej monety. Gracz A wygrywa, jeśli jeden z rzutów jest głową; w przeciwnym razie gracz B wygrywa. Jakie są szanse na wygraną gracza B?

Fałszywy argument zaczyna się od zbadania zestawu możliwych wyników, które możemy wyliczyć:

1. H : Pierwszy rzut to głowy. Gracz A wygrywa.
2. TH : Tylko druga klapka to głowy. Gracz A wygrywa.
3. TT : Żaden flip nie jest głową. Gracz B wygrywa.

Ponieważ gracz A ma dwie szanse na wygraną, a B ma tylko jedną szansę, szanse na korzyść B wynoszą (zgodnie z tym argumentem) 1: 2; to znaczy, szanse B wynoszą 1/3. Wśród obrońców tego argumentu byli Gilles Personne de Roberval , członek-założyciel Francuskiej Akademii Nauk.

Błąd jest dzisiaj dla nas oczywisty, ponieważ zostaliśmy wykształceni przez ludzi, którzy wyciągnęli wnioski z tej dyskusji. Fermat argumentował (poprawnie, ale niezbyt przekonująco), że przypadek (1) naprawdę należy uznać za dwa przypadki, tak jakby gra została rozegrana za pomocą obu rzutów, bez względu na wszystko. Powołanie się na hipotetyczną sekwencję przewrotek, która nie została właściwie rozegrana, sprawia, że ​​wielu ludziom nie jest łatwo. W dzisiejszych czasach bardziej przekonywujące może być ustalenie prawdopodobieństwa poszczególnych przypadków: szansa na (1) wynosi 1/2, a szanse na (2) i (3) są równe 1/4, stąd szansa, że ​​A wygrane wynoszą 1/2 + 1/4 = 3/4, a szansa, że ​​B wygra, to 1/4. Obliczenia te opierają się na aksjomatach prawdopodobieństwa, które ostatecznie zostały ustalone na początku XX wieku, ale zostały zasadniczo ustalone jesienią 1654 r. Przez Pascala i Fermata i spopularyzowane w całej Europie trzy lata później przez Christiana Huyghensa w jego krótkim traktacie o prawdopodobieństwie (pierwszy kiedykolwiek opublikowane), De ratiociniis in ludo aleae (obliczanie w grach losowych).

Obecne pytanie można wymodelować jako 100 rzutów monetą, z głowami przedstawiającymi śmierć, a ogony przedstawiające przetrwanie. Argument „1 na 100” (tak na marginesie, który powinien wynosić 1/101) ma dokładnie tę samą wadę.

Jedna ręka, żyje jeden magik i 100 utopionych magów, więc jego szanse to 1 na 100.

Takie rozumowanie domyślnie zakłada, że ​​każdy mag może równie dobrze przetrwać pod koniec procesu. Jednak tylko oryginał musiałby znieść wszystkie 100 prób, a on miałby najgorsze szanse. Porównaj oryginał z ostatnim utworzonym klonem; musi przeżyć tylko raz i ma szansę 1 na 2, aby zostać samotnym ocalałym.

Udawaj, że zamiast klonów mamy do czynienia z turniejem pojedynczej eliminacji (jak słynny turniej koszykówki NCAA każdego marca). Oryginał musi trwać 100 rund, podczas gdy ostatni klon musi grać tylko w finałach turnieju. Nie wszystkie klony równie dobrze przetrwają do końca, a oryginał ma najgorsze szanse na .$\frac{1}{2^{100}}$

Prawdopodobieństwo, że przeżyje, wynosi 1 w każdej próbie, a prawdopodobieństwo 1 to, że umrze w każdej próbie (niezależnie od awarii zbiornika na wodę). Po powieleniu nie ma już „go”; są „jego”.