Obliczanie kanonicznej funkcji łącza w GLM

Myślałem, że kanoniczna funkcja połączenia pochodzi z naturalnego parametru rodziny wykładniczej. Powiedzmy, rozważ rodzinę f ( y , θ , ψ ) = exp { y θ - b ( θ $g(\cdot)$ a następnieθ=θ(μ)jest kanoniczną funkcją łącza. Weźmyjako przykładrozkład Bernoulliego, mamy P(Y=y)=μy(1-μ)1-y=exp{ylog

$$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$$ $\theta=\theta(\mu)$ Tak więc kanoniczna funkcja łączag(μ)=log $$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$$ $$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$$

Ale kiedy widzę ten slajd , twierdzi on, że Chociaż można to łatwo zweryfikować dla tego konkretnego rozkładu (i niektórych innych rozkładów, takich jak rozkład Poissona), nie widzę równoważności dla ogólnego przypadku. Czy ktoś może dać wskazówki? Dziękuję ~

$$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$$

$V(\mu) = \mu(1-\mu)$$g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

$$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$$

$$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$$ $g$$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$$b''(\theta)$$\mu$ $$V(\mu) = b''(g(\mu)).$$ $\theta = g(b'(\theta))$ $$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$$

$V$$V(\mu)^{-1}$