Rozważ dwukrotne zróżnicowanie i symetryczny rozkład $\mathcal{F}_X$. Rozważmy teraz drugi dwukrotnie różny rozkład$\mathcal{F}_Z$ sztywność wypaczona w tym sensie, że:

$$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

gdzie $\preceq_c$ jest wypukłym porządkiem van Zwet [0], więc $(1)$ jest równa:

$$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$$

Rozważmy teraz trzecią podwójnie różną dystrybucję $\mathcal{F}_Y$ dogadzający:

$$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

Moje pytanie brzmi: czy zawsze możemy znaleźć rozkład $\mathcal{F}_Y$ i rozkład symetryczny $\mathcal{F}_X$ przepisać dowolne $\mathcal{F}_Z$ (wszystkie trzy zdefiniowane jak wyżej) pod względem składu $\mathcal{F}_X$ i $\mathcal{F}_Y$ tak jak:

$$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$$

albo nie?

Edytować:

Na przykład jeśli $\mathcal{F}_X$ to Weibull o parametrze kształtu 3.602349 (tak, aby był symetryczny) i $\mathcal{F}_Z$ jest rozkładem Weibulla z parametrem kształtu 3/2 (tak, że jest odpowiednio pochylony), rozumiem

$$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$$

ustawiając jako rozkład Weibulla z parametrem kształtu 2.324553. Zauważ, że wszystkie trzy dystrybucje spełniają:$\mathcal{F}_Y$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$$ zgodnie z wymaganiami. Zastanawiam się, czy jest to ogólnie prawdą (w podanych warunkach).

• [0] van Zwet, WR (1979). Średnia, mediana, tryb II (1979). Statistica Neerlandica. Tom 33, wydanie 1, strony 1--5.

Nie!

Prostym przykładem przeciwnym jest zapewnione przez Tukeya dystrybucji (szczególnym przypadku do z Tukeya i rozkład).$g$$h=0$$g$$h$

Na przykład, niech będzie Tukey z parametrem a będzie Tukey z parametrem i rozkładem Tukey dla którego . Ponieważ , te trzy rozkłady spełniają:$\mathcal{F}_X$$g$$g_X=0$$\mathcal{F}_Z$$g$$g_Z>0$$\mathcal{F}_Y$$g$$g_Y\leq g_Z$$h=0$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

(pierwszy pochodzi z definicji Tukeya która jest symetryczna, jeśli , następne z [0], Twierdzenie 2.1 (i)).$g$$g=0$

Na przykład dla mamy to:$g_Z=0.5$

$$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$$

(z jakiegoś powodu minimum wydaje się zawsze znajdować się w pobliżu ).$g_Y\approx g_Z/2$

• [0] HL MacGillivray Właściwości kształtu rodzin g-i-h oraz Johnson. Comm. Statist. — Theory Methods, 21 (5) (1992), s. 1233–1250

---

Edytować:

W przypadku Weibull twierdzenie jest prawdziwe:

Niech będzie rozkładem Weibulla z parametrem kształtu (parametr skali nie wpływa na uporządkowanie wypukłe, więc możemy ustawić go na 1 bez utraty ogólności). Podobnie , oraz i .$\mathcal{F}_Z$$w_Z$$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$w_Y$$w_X$

Po pierwsze, należy pamiętać, że dowolne trzy rozkłady Weibulla można zawsze zamówić w sensie [0].

Następnie zauważ, że:

$$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$$

Teraz dla Weibull:

$$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$$

po to aby

$$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$$

od

$$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$$

Dlatego roszczenie można zawsze spełnić, ustawiając .$w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

• [0] van Zwet, WR (1979). Średnia, mediana, tryb II (1979). Statistica Neerlandica. Tom 33, wydanie 1, strony 1--5.
• [1] Groeneveld, RA (1985). Skośność dla rodziny Weibull. Statistica Neerlandica. Tom 40, wydanie 3, strony 135–140.