Jaka jest wariancja tego estymatora

Chcę oszacować średnią funkcji f, tj. gdzie i są niezależnymi zmiennymi losowymi. Mam próbki f, ale nie iid: Są próbki IID dla a dla każdego są próbki z :

E_{X, Y} [f (X, Y)]

$E_{X,Y}[f(X,Y)]$

X

$X$

Y

$Y$

Y_{1}, Y_{2}, \dots Y_{n}

$Y_1,Y_2,\dots Y_n$

Y_{i}

$Y_i$

n_{i}

$n_i$

X

$X$

X_{i, 1}, X_{i, 2}, \dots, X_{i, n_{i}}

$X_{i,1},X_{i,2},\dots, X_{i,n_i}$

Więc w sumie mam próbki $f(X_{1,1},Y_1) \dots f(X_{1,n_1},Y_1 ) \dots f(X_{i,j},Y_i) \dots f(X_{n,n_n},Y_n)$

Aby oszacować średnią, obliczam Oczywiście więc jest obiektywnym estymatorem. Zastanawiam się teraz, czym jest , tj. Wariancja estymatora.

μ = \sum_{i = 1}^{n} 1 / n * \sum_{j = 1}^{n_{i}} \frac{f (X_{i, j}, Y_{i})}{n_{i}}

$\mu=\sum_{i=1}^n 1/n * \sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$

E_{X, Y} [μ] = E_{X, Y} [f (X, Y)]

$E_{X,Y}[\mu]=E_{X,Y}[f(X,Y)]$

μ

$\mu$

V a r (μ)

$Var(\mu)$

Edycja 2: Czy to poprawna wariancja? It wydaje się działać w granicach, tj. jeśli n = 1 i wszystkie wariancja staje się wariancją średnich. A jeśli wzór staje się standardowym wzorem dla wariancji estymatorów. Czy to jest poprawne? Jak mogę udowodnić, że tak jest?

V a r (μ) = \frac{V a r_{Y} (μ_{i})}{n} + \sum_{i = 1}^{n} \frac{V a r_{X} (f (X, Y_{i})))}{n_{i} * n^{2}}

$Var(\mu)=\frac{Var_Y(\mu_i)}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{Var_X(f(X,Y_i)))}{n_i*n^2}$

n_{i} = \infty

$n_i=\infty$

n_{i} = 1

$n_i=1$

Edytuj (zignoruj to):

Myślę więc, że zrobiłem pewien postęp: najpierw zdefiniujmy który jest obiektywnym estymatorem . $\mu_i=\sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$ $E_X[f(X,Y_i)]$

Stosując standardową formułę wariancji możemy napisać:

V a r (μ) = 1 / n^{2} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} C o v (μ_{l}, μ_{k})

$Var(\mu)=1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=1}^n Cov(\mu_l,\mu_k)$ Można to uprościć do i ponieważ s są rysowane niezależnie, możemy dodatkowo uprościć to do A dla kowariancji:

1 / n^{2} (\sum_{i = 1}^{n} V a r (μ_{l}) + 1 / n^{2} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = l + 1}^{n} 2 * C o v (μ_{l}, μ_{k}))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n Var(\mu_l)+ 1/n^2\sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$

X_{i j}

$X_{ij}$

1 / n^{2} (\sum_{i = 1}^{n} 1 / n_{i} V a r (f (X_{i, j}, Y_{i})) + 1 / n^{2} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = l + 1}^{n} 2 * C o v (μ_{l}, μ_{k}))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X_{i,j},Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$

\begin{aligned} C o v (μ_{l}, μ_{k}) & = C o v (\sum_{j = 1}^{n_{l}} \frac{f (X_{j, l}, Y_{l})}{n_{l}}, \sum_{j = 1}^{n_{k}} \frac{f (X_{j, k}, Y_{k})}{n_{k}}) \\ = \frac{1}{(n_{k} * n_{l})} * C o v (\sum_{j = 1}^{n_{l}} f (X_{j, l}, Y_{l}), \sum_{j = 1}^{n_{k}} f (X_{j, k}, Y_{k})) \\ = \frac{1}{(n_{k} * n_{l})} * \sum_{j = 1}^{n_{l}} \sum_{j = 1}^{n_{k}} C o v (f (X, Y_{l}), f (X, Y_{k})) \\ = \frac{n_{k} * n_{l}}{(n_{k} * n_{l})} C o v (f (X_{i, l}, Y_{l}), f (X_{i, k}, Y_{k})) \\ = C o v (f (X, Y_{l}), f (X, Y_{k})) \end{aligned}

$\begin{align} Cov(\mu_l,\mu_k)&=Cov(\sum_{j=1}^{n_l} \frac{f(X_{j,l},Y_l)}{n_{l}},\sum_{j=1}^{n_k} \frac{f(X_{j,k},Y_k)}{n_{k}})\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*Cov(\sum_{j=1}^{n_l} f(X_{j,l},Y_l),\sum_{j=1}^{n_k} f(X_{j,k},Y_k))\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*\sum_{j=1}^{n_l}\sum_{j=1}^{n_k}Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k))\\ &=\frac{n_k*n_l}{(n_k*n_l)}Cov( f(X_{i,l},Y_l), f(X_{i,k},Y_k))\\ &=Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k)) \end{align}$ Podłączając to z powrotem otrzymujemy Mam teraz wiele pytań:

1 / n^{2} (\sum_{i = 1}^{n} 1 / n_{i} V a r (f (X, Y_{i})) + 1 / n^{2} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = l + 1}^{n} 2 * C o v (f (X, Y_{l}), f (X, Y_{k})))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X,Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$

Czy powyższe obliczenia są prawidłowe?
Jak mogę oszacować na podstawie podanych próbek? $Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$
Czy wariancja zbiegnie się do 0, jeśli pozwolę n przejść do nieskończoności?

variance unbiased-estimator estimators

— Benedikt Bünz
źródło

P1: Nie, to nie do końca prawda. Pomijasz indeksy dolne w wierszu 3 końcowego wyprowadzenia kowariancji. To przesłania fakt, że dwa RV oznaczone jako „X” są w rzeczywistości niezależne od siebie: jeden miał indeks dolny a drugi . W całym bloku równości jedynymi niezerowymi warunkami powinno być kiedy , ponieważ funkcje niezależnych danych wejściowych są niezależne. (Zakładam, że nie stwierdzenie jest niezależny od nawet jeśli nie wynika to ściśle z pary twierdzeń o niezależności między wszystkimi i ) $\ell$ $k$ $k=\ell$ $X_{12}, Y_1$ $X_{22}, Y_2$ $X$ $Y$

Q2: Z góry ten termin jest niezerowy tylko wtedy, gdy , w takim przypadku sprowadza się do . Wynik po sumie to . $k=\ell$ $Cov(f(X_{jk}, Y_k), f(X_{jk}, Y_k)) = Var(f(X_{jk}, Y_k))$ $Cov(\mu_k, \mu_k) = \frac{1}{n_k} Var(f(X_{jk}, Y_k))$

P3: Tak: po tych modyfikacjach będziesz mieć tylko liniową liczbę terminów w ostatniej sumie, więc kwadratowy termin mianownika wygra.

— eric_kernfeld
źródło

Odpowiedź na „Czy wariancja jest zbieżna z 0, jeśli pozwolę n przejść w nieskończoność?” jest tak".

— eric_kernfeld