Pearson VS Deviance Residuals w regresji logistycznej

Wiem, że znormalizowane pozostałości Pearson uzyskuje się w tradycyjny probabilistyczny sposób:

$$r_i = \frac{y_i-\pi_i}{\sqrt{\pi_i(1-\pi_i)}}$$

i Pozostałości dewiacji są uzyskiwane w bardziej statystyczny sposób (udział każdego punktu w prawdopodobieństwie):

$$d_i = s_i \sqrt{-2[y_i \log \hat{\pi_i} + (1 - y_i)\log(1-\pi_i)]}$$

gdzie $s_i$ = 1 jeśli $y_i$ = 1 oraz $s_i$ = -1 jeśli $y_i$ = 0.

Czy możesz mi intuicyjnie wyjaśnić, jak interpretować wzór na resztki odchyleń?

Co więcej, jeśli chcę wybrać jeden, który jest bardziej odpowiedni i dlaczego?

BTW, niektóre referencje twierdzą, że otrzymujemy wartości odchylenia na podstawie tego terminu

$$-\frac{1}{2}{r_i}^2$$

gdzie jest wspomniany powyżej.$r_i$

Regresja logistyczna dąży do maksymalizacji funkcji prawdopodobieństwa logarytmu

$LL = \sum^k \ln(P_i) + \sum^r \ln(1-P_i)$

gdzie jest przewidywane prawdopodobieństwo przypadku i jest Y = 1 ; k oznacza liczbę przypadków obserwowano Y = 1 , a R jest liczbą (reszta) przypadkach obserwowano Y = 0 .$P_i$$\hat Y=1$$k$$Y=1$$r$$Y=0$

To wyrażenie jest równe

$LL = ({\sum^k d_i^2} + {\sum^r d_i^2})/-2$

ponieważ rezydualne odchylenie przypadku jest zdefiniowane jako:

$d_i = \begin{cases} \sqrt{-2\ln(P_i)} &\text{if } Y_i=1\\ -\sqrt{-2\ln(1-P_i)} &\text{if } Y_i=0\\ \end{cases}$

Zatem binarna regresja logistyczna dąży bezpośrednio do zminimalizowania sumy kwadratów odchyleń odchylenia. Resztki dewiacji są implikowane w algorytmie ML regresji.

$2(LL_\text{full model} - LL_\text{reduced model})$