Oczekiwana wartość jako funkcja kwantyli?

Zastanawiałem się, gdzie istnieje ogólny wzór na powiązanie oczekiwanej wartości ciągłej zmiennej losowej w funkcji kwantyli tego samego rv Oczekiwana wartość rv jest zdefiniowana jako: i kwantyle są zdefiniowane jako: dla .E ( X ) = ∫ x d F X ( x ) Q p X = { x : F X ( x ) = p } = F - 1 X ( p ) p ∈ ( 0 , 1 $X$
$E(X) = \int x dF_X(x)$$Q^p_X = \{x : F_X(x) = p \} =F_X^{-1}(p)$$p\in(0,1)$

Czy istnieje na przykład funkcja funkcji $G$ taka, że: $E(X) = \int_{p\in(0,1)} G(Q^p_X) dp$

Odwrotność (odwrotność prawa w dyskretnym przypadku) skumulowanej funkcji rozkładu nazywa się funkcją kwantylu, często oznaczoną jako . Oczekiwanie można podać w kategoriach funkcji kwantylu (gdy istnieje oczekiwanie ...) jako W przypadku ciągłym można to wykazać przez proste podstawienie w całce: Write a następnie poprzez ukryte różnicowanie prowadzi do : Otrzymaliśmy z przez zastosowanie$F(x)$$Q(p)=F^{-1}(p)$$\mu$

$$\mu=\int_0^1 Q(p)\; dp$$ $$\mu = \int x f(x) \; dx$$ $p=F(x)$$dp = f(x) \; dx$ $$\mu = \int x \; dp = \int_0^1 Q(p) \; dp$$ $x=Q(p)$$p=F(x)$$Q$ po obu stronach.