Oszacuj wariancję populacji, jeśli znana jest średnia populacji

Wiem, że używamy do oszacowania wariancji populacji. Pamiętam wideo z Khan Academy, w którym podana intuicja była taka, że ​​nasza szacunkowa średnia jest prawdopodobnie nieco mniejsza od rzeczywistej, więc odległości byłyby faktycznie większe, więc dzielimy przez mniej ( zamiast ) aby uzyskać większą wartość, co skutkuje lepszym oszacowaniem. Pamiętam gdzieś czytać, że nie potrzebuję tej korekty, jeśli mam rzeczywistą średnią populacji zamiast . Oszacowałbym więc Ale już nie mogę tego znaleźć. Czy to prawda? Czy ktoś może mi dać wskaźnik?$\frac1{n-1}\sum\limits_i(x_i - \bar{x})^2$$x_i - \bar{x}$$n-1$$n$
$\mu$$\bar{x}$$\frac1{n}\sum\limits_i(x_i - \mu)^2$

Tak to jest prawda. W języku statystyki powiedzielibyśmy, że jeśli nie masz wiedzy o średniej populacji, to ilość

$$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\bar{x} \right)^2$$

jest bezstronna, co oznacza po prostu, że szacuje wariancję populacji prawidłowo średnio . Ale jeśli wiesz, że oznacza to populację, nie ma potrzeby używania szacunku - właśnie do tego służy - i korekta próby skończonej, która się z tym wiąże.$\bar{x}$

W rzeczywistości można wykazać, że ilość

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\mu \right)^2$$

jest nie tylko bezstronny, ale ma również mniejszą wariancję niż ilość powyżej. Jest to dość intuicyjne, ponieważ część niepewności została już usunięta. Używamy tego w tej sytuacji.

Warto zauważyć, że estymatory będą się bardzo różnić w dużych próbkach, a zatem są asymptotycznie równoważne .