Jak odczytuje się zapis ?

Jak odczytuje się zapis ? Czy następuje rozkład normalny? Czy jest rozkładem normalnym? A może jest w przybliżeniu normalny ..$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$X$ $X$ $X$

Co się stanie, jeśli istnieje kilka zmiennych, które następują (lub jakikolwiek jest ten wyraz) w tym samym rozkładzie? Jak to jest napisane?

Myślę, że zmienna X jest rozkładana zgodnie z rozkładem normalnym ze średnim wektorem i odchyleniem standardowym .$\mu$$\sigma$

Jeśli chodzi o użycie symboli („następuje”, „jest dystrybuowane zgodnie z”) i („równa się w przybliżeniu”), patrz ta odpowiedź . W ten sposób symbole są używane przynajmniej w statystyce / ekonometrii.$\sim$$\approx$

Jeśli chodzi o konwencje notacyjne dla rozkładu, norma jest przypadkiem granicznym : zwykle zapisujemy parametry definiujące rozkład obok jego symbolu, parametry, które pozwolą napisać poprawnie jego funkcję rozkładu skumulowanego oraz jej gęstość prawdopodobieństwa / funkcję masy. Nie notujemy momentów, które zwykle są funkcją, ale nie równą tym parametrom.

Tak więc dla Uniformu, który zawiera się w , piszemy . Średnia rozkładu wynosi natomiast wariancja wynosi . Dla parametru Gamma (parametryzacja w skali kształtu) piszemy . Średnia to a wariancja . Itp.$[a,b]$$U(a,b)$$(a+b)/2$$(b-a)^2/12$$G(k,\theta)$$k\theta$$k\theta^2$

W przypadku rozkładu normalnego parametr jest również średnią rozkładu, a parametr jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji. Mam (prawdopodobnie błędne) wrażenie, że w kręgach inżynieryjnych częściej widuje się (co jest zgodne z ogólną regułą notacyjną), podczas gdy w kręgach ekonometrycznych prawie zawsze widać (co popada w pokusę zapewnienia chwil, traktując jako parametr podstawowy, a nie jako jego kwadrat).$\mu$$\sigma$$N(\mu, \sigma)$$N(\mu, \sigma^2)$$\sigma^2$

EDYCJA: Moja poprzednia odpowiedź nie odpowiedziała na rzeczywiste pytanie. Poniżej znajduje się moja próba odpowiedzi bardziej punktowej.

Jak odczytuje się zapis ?$X \sim N(\mu,\sigma^2)$

Inne odpowiedzi już mówią ci, co oznacza notacja, a mianowicie, że jest normalnie rozmieszczoną losową zmienną o pewnej średniej i wariancji . Odpowiedź Dilipa podaje również ładne przedstawienie innych możliwych interpretacji, gdy notacja jest mniej wyraźna niż , np. Dla parametrów ogólnych , a mianowicie. .$X$$\mu$$\sigma^2$$\sigma^2$$\{a,b\}$$X\sim N(a,b)$

Ilekroć widzę ten zapis w tekście, staram się go czytać, aby miał sens gramatyczny. Twierdziłbym, że to rozsądny sposób traktowania zapisu. Zatem odpowiedź na twoje pytanie jest taka, że ​​wiedząc, co oznacza matematycznie notacja, po prostu czytasz ją w dowolny sposób, który pasuje do tekstu. Oto dwa przykłady:

(1) Niech ...$X \sim N(a,b)$

(2) Rozważ trzy niezależne zmienne losowe,$X\sim N(0,1), Y\sim N(1,2), Z \sim Exp(\lambda).$

W (1) czytam to jako (np.) „Niech będzie rozkładem normalnym ze średnią a i wariancją b ...”, aw (2) czytam to jako „… jest standardową normą…”.$X$$X$

Czy X ma rozkład normalny?

Tak, to też działa. Wiele osób mówi to w ten sposób, chociaż możesz chcieć uwzględnić średnią i wariancję charakteryzującą rozkład.

Czy X jest rozkładem normalnym?

Nie, to nieprawda. Zobacz tę moją starą odpowiedź, aby dowiedzieć się, czym jest dystrybucja.

A może X jest w przybliżeniu normalny ..

Nie, to też jest nieprawidłowe. Istnieją inne sposoby na oznaczenie tego. Jak wskazano w komentarzach,$\overset{\cdot}{\sim}$ jest jednym z nich.

Co się stanie, jeśli istnieje kilka zmiennych, które następują (lub jakikolwiek jest ten wyraz) w tym samym rozkładzie? Jak to jest napisane?

Jeśli wszystkie są niezależne, jednym łatwym sposobem na napisanie tego jest , biorąc pod uwagę, że masz zmiennych (iid oznacza niezależne i identycznie rozmieszczone). Jeśli nie są niezależne, można powiedzieć, że są prawdopodobnie zależne, ale (marginalnie) identycznie rozmieszczone jako . Lub może zamiast tego trzeba zadeklarować ich wspólny rozkład - zależy to od celu, jaki masz do rozważenia zmiennych losowych.$X_i \overset{iid}{\sim} N(\mu,\sigma^2),i=1,2,\dots n$$n$$X_i, i=1,2,\dots,n$$N(\mu,\sigma^2)$

Jeśli są one wspólnie normalne, łatwo jest napisać, że aby w pełni scharakteryzować ich rozkład połączeń za pomocą jakiegoś średniego wektora i macierzy kowariancji .$\mathbf X :=(X_1,\dots,X_n)'\sim N(\mu, \Sigma)$$\mu$$\Sigma$

Ogólnie rzecz biorąc, można zdefiniować dowolną wieloczynnikowej funkcji rozkładu , a następnie napisać, że .$F$$\mathbf X \sim F$

Trudność polega na tym, aby nie wiedzieć, co oznacza . Nawet jest dość jednoznaczny dla większości peaople, ponieważ oznacza normalną zmienną losową o średniej i wariancji lub wariancji (puriści powinni wierzyć, że odchylenie standardowe jest bardziej podstawowym parametrem niż wariancja zamiast tego powinien swobodnie powiedzieć „odchylenie standardowe ”). Jednak, co należy rozumieć przez , np. podlega co najmniej trzem różnym konwencjom w odniesieniu do wariancji lub odchylenia standardowego. Wszystkie trzy konwencje są zgodne, że jest średnią$\mathcal N(\mu,\sigma^2)$$\mathcal N(3,5^2)$$3$$5^2$$25$$5$$\mathcal N(a,b)$$\mathcal N(3,25)$$\mathbf 3$ $\mu_X$ z ale ma różne znaczenie dla różnych ludzi.$X$$\mathbf 25$

• $X \sim \mathcal N(\star,25)$oznacza, że odchylenie standardowe od$X$ jest $25$.

• $X \sim \mathcal N(\star,25)$oznacza, że wariancja z$X$ jest $25$.

• $X \sim \mathcal N(\star,25)$oznacza, że wariancja z$X$ jest $\dfrac{1}{25}$.

Zobacz to pytanie i poniższe komentarze, aby uzyskać szczegółowe informacje.

$X$ jest zmienną losową ”$X$„;

$\sim$ jest czytany „jest dystrybuowany jako”;

$N$ otrzymuje brzmienie „Normalny”;

$\mu$ czyta się „ze średnią” $\mu$„(konwencja jest taka, że ​​pierwszy wpis po otwartym nawiasie to średnia, a drugi to wariancja lub odchylenie standardowe, w zależności od zapisu - patrz poniżej); oraz

$\sigma^2$ jest czytany „z wariancją $\sigma^2$ (lub odchylenie standardowe $\sigma^2$, w zależności od wykorzystania autora / użytkownika. W tym przypadku zgaduję, że to z wariancją$\sigma^2$.

Podsumowując, masz losową zmienną $X$ który jest dystrybuowany jako Normalny ze średnim „mu” ($\mu$) i wariancji „sigma squared” ($\sigma^2$).

Możesz też powiedzieć $X$postępuje normalnie. . .

Jeśli kilka zmiennych ma ten sam rozkład, możesz to przedstawić na kilka sposobów, ale możesz chcieć zaindeksować zmienne $i=1$ do $n$. Wtedy możesz napisać$X_i\sim N(\mu, \sigma^2)$, dla $i=1$ do $n$.

$X$ jest zwykle dystrybuowany ze średnią $\mu$ i odchylenie standardowe $\sigma$. Tylda nie oznacza przybliżenia, ponieważ nie jest powiązana ze znakiem równości, choć implikuje to w pewien sposób, ponieważ X nigdy nie jest ostatecznie znany.