Czy próbkowanie ze złożonego rozkładu normalnego jest równoważne próbkowaniu z rozkładu normalnego obciętego do 0?

Chcę symulować z normalnej gęstości (powiedzmy średnią = 1, sd = 1), ale chcę tylko dodatnich wartości.

Jednym ze sposobów jest symulacja z wartości normalnej i przyjęcie wartości bezwzględnej. Myślę o tym jak o złożonej normalności.

Widzę w R, że istnieją funkcje do generowania skróconych zmiennych losowych. Jeśli wykonuję symulację ze skróconego normalnego (obcięcie przy 0), czy jest to równoważne złożonemu podejściu?

Tak, podejścia dają te same wyniki dla zerowego średniego rozkładu normalnego.

Wystarczy sprawdzić, czy prawdopodobieństwa zgadzają się na przedziały, ponieważ generują one algebrę sigma wszystkich mierzalnych zbiorów (Lebesgue). Niech będzie standardową gęstością normalną: daje prawdopodobieństwo, że standardowa zmienna normalna leży w przedziale . Następnie dla prawdopodobieństwo skrócone jest$\Phi$$\Phi((a,b])$$(a,b]$$0 \le a \le b$

$$\Phi_{\text{truncated}}((a,b]) = \Phi((a,b]) / \Phi([0, \infty]) = 2\Phi((a,b])$$

(ponieważ ), a prawdopodobieństwo złożonego wynosi$\Phi([0, \infty]) = 1/2$

$$\Phi_{\text{folded}}((a,b]) = \Phi((a,b]) + \Phi([-b,-a)) = 2\Phi((a,b])$$

z powodu symetrii około .$\Phi$$0$

Ta analiza dotyczy każdego rozkładu, który jest symetryczny około i ma zerowe prawdopodobieństwo bycia . Jeśli średnia jest niezerowa , rozkład nie jest symetryczny, a dwa podejścia nie dają tego samego wyniku, jak pokazują te same obliczenia.$0$$0$

Ten wykres pokazuje funkcje gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu normalnego (1,1) (żółty), złożonego rozkładu normalnego (1,1) (czerwony) i skróconego rozkładu normalnego (1,1) (niebieski). Zwróć uwagę, że rozkładany rozkład nie ma charakterystycznego kształtu krzywej dzwonowej z pozostałymi dwoma. Krzywa niebieska (rozkład obcięty) jest dodatnią częścią żółtej krzywej, przeskalowaną w górę, aby uzyskać pole jednostkowe, natomiast krzywa czerwona (rozkład złożony) jest sumą dodatniej części żółtej krzywej i jej ujemnego ogona (odzwierciedlone wokół oś y).

Niech . Rozkład zdecydowanie nie jest taki sam jak w.$X \sim N(\mu = 1, SD=1)$$X|X > 0$$|X|$

Szybki test w R:

x <- rnorm(10000, 1, 1)
par(mfrow=c(2,1))
hist(abs(x), breaks=100)
hist(x[x > 0], breaks=100)

To daje następujące.