Wariancja iloczynu zmiennych zależnych

Jaki jest wzór na wariancję iloczynu zmiennych zależnych?

W przypadku zmiennych niezależnych formuła jest prosta:

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$$ Ale jaki jest wzór na zmienne skorelowane?

Przy okazji, jak mogę znaleźć korelację na podstawie danych statystycznych?

Używając znajomej tożsamości, którą wskazałeś,

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$$

Stosując analogiczną formułę kowariancji,

$$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$$

i

$$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

co oznacza, że ​​ogólnie, można zapisać jako${\rm var}(XY)$

$${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

Należy zauważyć, że w przypadku niezależności a to zmniejsza się do${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$

$$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$$

i dwa warunki anulują się i otrzymasz$[ E(X)E(Y) ]^{2}$

$${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$$

jak wskazałeś powyżej.

Edycja: Jeśli wszystko, co obserwujesz, to a nie X i Y osobno, to nie sądzę, że istnieje sposób na oszacowanie c o v ( X , Y ) lub c o v ( X 2 , Y 2 ), z wyjątkiem w szczególnych przypadkach (na przykład, jeśli X , Y mają środki znane z góry )$XY$$X$$Y$${\rm cov}(X,Y)$${\rm cov}(X^2,Y^2)$$X,Y$

$$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$$ $\operatorname{cov}(X,Y)$$E[X]$$E[Y]$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E\left[X^2Y^2\right]$$(2)$$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$$(3)$$X$$Y$$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$$\operatorname{cov}(X,Y)$$0$$E\left[X^2Y^2\right]$$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$$(2)$$(3)$

$X$$Y$$E\left[X^2Y^2\right]$

$X$$Y$$\rho$$X = x$$Y$$E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$$\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$

$$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$$ $X$$g(X)$ $$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$$ $(4)$$X$

---

$XY$

$$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$$ $\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$$E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$$\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$$\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$