Co możemy powiedzieć o populacji w próbie 1?

Zastanawiam się, co możemy powiedzieć, jeśli w ogóle, o średniej populacji, kiedy wszystko, co mam, to jeden pomiar, (wielkość próby 1). Oczywiście chcielibyśmy mieć więcej pomiarów, ale nie możemy ich uzyskać.y $\mu$$y_1$

Wydaje mi się, że skoro średnia próbki, , jest trywialnie równa , to . Jednak przy wielkości próby 1 wariancja próbki jest niezdefiniowana, a zatem nasze zaufanie do używania jako estymatora jest również niezdefiniowane, prawda? Czy byłby jakiś sposób na ograniczenie naszej oceny ? y1E[ ˉ y ]=E[y1]=μ ˉ y μ$\bar{y}$$y_1$$E[\bar{y}]=E[y_1]=\mu$$\bar{y}$$\mu$$\mu$

Oto zupełnie nowy artykuł na ten temat w sprawie Poissona, przyjmujący ładne podejście pedagogiczne:

Andersson. Per Gösta (2015). Podejście szkolne do konstrukcji przybliżonego przedziału ufności średniej Poissona przy użyciu jednej obserwacji. The American Statistician , 69 (3), 160-164, DOI: 10.1080 / 00031305.2015.1056830 .

Jeśli wiadomo, że populacja jest normalna, 95% przedział ufności oparty na pojedynczej obserwacji jest podawany przezx ± 9,68 | x $x$

Jest to omówione w artykule „Skuteczny przedział ufności dla średniej z próbkami wielkości pierwszej i drugiej” autorstwa Wall, Boen i Tweedie, The American Statistician , maj 2001, vol. 55, nr 2 . ( pdf )

Pewnie że jest. Użyj paradygmatu bayesowskiego . Są szanse masz przynajmniej jakiś pomysł, co mogłoby być - na przykład, że fizycznie nie może być ujemna, albo że to oczywiście nie może być większa niż 100 (może jesteś pomiaru wysokości lokalnych członków zespołu High School Football w stopach). Postaw na to pierwszeństwo, zaktualizuj je swoją samotną obserwacją, a będziesz miał wspaniały widok z tyłu.$\mu$

Małe ćwiczenie symulacyjne pokazujące, czy odpowiedź @soakley działa:

# Set the number of trials, M
M=10^6
# Set the true mean for each trial
mu=rep(0,M)
# Set the true standard deviation for each trial
sd=rep(1,M)
# Set counter to zero
count=0
for(i in 1:M){
 # Control the random number generation so that the experiment is replicable 
 set.seed(i)
 # Generate one draw of a normal random variable with a given mean and standard deviation
 x=rnorm(n=1,mean=mu[i],sd=sd[i])
 # Estimate the lower confidence bound for the population mean
 lower=x-9.68*abs(x)
 # Estimate the upper confidence bound for the population mean
 upper=x+9.68*abs(x)
 # If the true mean is within the confidence interval, count it in
 if( (lower<mu[i]) && (mu[i]<upper) ) count=count+1
}
# Obtain the percentage of cases when the true mean is within the confidence interval
count_pct=count/M
# Print the result
print(count_pct)
[1] 1

Z miliona losowych prób przedział ufności obejmuje prawdziwy milion razy, czyli zawsze . Nie powinno tak się zdarzyć, jeśli przedział ufności wynosił 95% .

Więc formuła wydaje się nie działać ... A może popełniłem błąd kodowania?

Edycja: ten sam wynik empiryczny zachowuje się przy użyciu ; jest to jednak dla - a zatem jest bardzo zbliżone do 95% przedziału ufności.0,950097 ≈ 0,95 ( μ , σ ) = ( 1000 , 1000 $(\mu, \sigma)=(1000,1)$
$0.950097 \approx 0.95$$(\mu, \sigma)=(1000,1000)$

Patrz Edelman, D (1990) „Przedział ufności dla centrum nieznanego rozkładu unimodalnego na podstawie wielkości próby pierwszej” The American Statistician, tom 44, nr 4. Artykuł dotyczy przypadków normalnych i nieparametrycznych.